3.4 理想光学系统的放大率

3.4.1 垂轴放大率

在理想光学系统中，垂轴放大率上节已提及，另外，还有两种放大率，即轴向放大率和角放大率。

3.4.2 轴向放大率

对于确定的理想光学系统，像平面的位置是物平面位置的函数，具体的函数关系式由高斯公式和牛顿公式决定。

当物平面沿光轴移动微小距离dx或dl时，其像平面移动的距离dx′或dl′与dx或dl之比称为轴向放大率，用α表示，即

将牛顿公式或高斯公式微分来导出轴向放大率，微分牛顿公式（3-3）可得

将牛顿公式形式的垂轴放大率公式β＝－f/x＝－x′/f′代入得

如果理想光学系统的物方空间与像方空间介质相同，则式（3-14）简化为

3.4.3 角放大率

过光轴上一对共轭点，任取一对共轭光线AM和M′A′，如图3.16所示，其与光轴的夹角分别为U和U′，这两个角度正切之比定义为这一对共轭点的角放大率，以γ表示为

由理想光学系统的拉赫公式ny ta n U＝n′y′ta n U′，可得

在确定的理想光学系统中，因为垂轴放大率只随物体位置而变化，所以角放大率仅随物像位置而异，在同一对共轭点上，任一对共轭光线与光轴夹角U′和U的正切之比恒为常数。

式（3-14）与式（3-17）的左右两端分别相乘可得

式（3-18）就是理想光学系统的三种放大率之间的关系式。

3.4.4 光学系统的节点

光学系统中角放大率等于+1的一对共轭点称为节点。

1．光学系统物、像空间介质相同

光学系统物空间与像空间的介质相同时，则式（3-17）可简化为

此时，当γ＝1时，β＝1，由于一对主平面的垂轴放大率为1，主点即为节点。根据节点的定义，则过主点的入射光线经过系统后出射方向不变，如图3.17所示。

2．光学系统物、像空间介质不同

光学系统物方空间折射率与像方空间折射率不相同时，角放大率γ＝1的物像共轭点（即节点）不再与主点重合。

由于

又由于

则

根据节点的角放大率为1，有

在决定节点位置时应以相应的焦点为原点，同时要考虑物方焦距f和像方焦距f′的符号，若f′＞0，则xJ＝f′＞0。所以物方节点J位于物方焦点之右相距f′ 之处；又因x′J＝f＜0，所以像方节点J′位于像方焦点之左相距f 之处，如图3.18所示。过节点的共轭光线是彼此平行的。

如前所述，光线通过节点方向不变的性质可方便地用于图解法求像。一对节点加上前面已述的一对主点和一对焦点，统称光学系统的基点。

3．节点特性的应用

1）测定光学系统的基点位置

如图3.19所示，将一束平行光束入射于光学系统并使光学系统绕通过像方节点J′的轴线左右摆动。由于入射光线的方向不变，而且彼此平行，根据节点的性质，通过像方节点J′的出射光线一定平行于入射光线。同时，由于转轴通过J′，所以出射光线J′P′的方向和位置都不会因为光学系统的摆动而发生变化。与入射平行光束相对应的像点一定位于J′P′上，因此，像点也不会因为光学系统的摆动而产生上下移动。如果转轴不通过J′，则光学系统摆动时，J′和J′P′光线的位置也发生摆动，导致像点位置发生上下移动。

利用这种性质，一边摆动光学系统，同时连续改变像点位置，并观察像点，当像点不动时，转轴的位置即是像方节点的位置。颠倒光学系统，重复上面的操作，便可得到物方节点的位置。

2）周视照相机

图3.20所示的用于拍摄大型团体照片使用的周视摄像机也是利用节点的性质构成的。拍摄的对象排列在一个圆弧AB上，照相物镜并不能使全部物体同时成像，而只能使小范围的物体A1B1成像于A′1B′1上。当照相物镜绕像方节点J′转动时，就可把整个拍摄对象AB成像在底片A′B′上。如果物镜的转轴和像方节点不重合，当物镜转动时，A1点的像A′1将在底片上移动，使照片模糊不清。而当物镜的转轴通过像方节点J′，根据节点的性质，当物镜转动时，A1点的像点A′1就不会移动，整幅照片A′B′上就可以获得整个物体AB的清晰像。

3.4.5 用平行光管测定焦距的依据

如图3.21所示，一束与光轴成ω角入射的平行光束经光学系统以后，会聚于焦平面上的B′点，这就是无限远轴外物点B的像。B′点的高度，即像高y′是由这束平行光束中过节点的光线决定的。如果被测系统放在空气中，则主点与节点重合，因此由图可得

式（3-20）表明，只要给被测系统提供一束与光轴倾斜成给定角度ω的平行光束，测出其在焦平面上会聚点的高度y′，就可算出焦距。

给定倾角的平行光束可由平行光管提供，图3.22所示。在平行光管物镜的焦平面上设置一刻有几对已知间隔线条的分划板，用以产生平行光束，平行光管物镜的焦距f1为已知，y可由分划板读出，所以角ω满足ta nω＝－y/f1是已知的。据此，被测物镜的焦距f′2为

3.4.6 举例

例3.3 如图3.23所示，已知透镜的主点、节点及焦点物体AB在透镜焦距以外，用作图法求其像的位置。

解 第一步，过A点作光线AP平行于光轴，出射光线P′A′通过像方焦点F′；第二步，过物方节点N作光线AN，与之共轭的出射光线A′N′必与AN平行并过像方节点；第三步，光线P′A′与A′N′的交点就是A点的像点A′，过A′点作光轴的垂线，垂足为B′，则A′B′就是AB的像。

例3.4 图3.24所示，S与S′为共轴光学系统的一对共轭点，F与F′为物方焦点和像方焦点，试用作图法找出该成像系统的主点和节点。

解 第一步，过S、F点作直线SF，过S点作光轴平行线SP′；第二步，过F′、S′点作直线F′S′交SP′于Q′点；第三步，过S′作光轴平行线交SF于Q点；第四步，分别过Q、Q′作光轴垂线，垂足为H、H′，即为相应主点；第五步，在F点右侧沿光轴截取FJ＝F′H′，则J点为物方节点；在F′点左侧沿光轴截取F′J′＝FH，则J′点为像方节点。