3.6 透镜
3.6.1 透镜的分类
透镜是构成系统的最基本单元，它是由两个球面或一个球面和一个平面所构成。透镜按形式来分，可分为两大类、六种形状。第一类透镜中央比边缘厚，称为凸透镜或正透镜，它的光焦度为正值，可分为双凸、平凸和月凸三种形状，如图3.30（a）、（b）、（c）所示。这类透镜通常对光束起会聚作用，又称会聚透镜。第二类透镜中央比边缘薄，称为凹透镜或负透镜，它的光焦度为负值，有双凹、平凹、月凹三种形状，如图3.30（d）、（e）、（f）所示。这类透镜通常对光束起发散作用，又称发散透镜。
图3.30 透镜的类型
3.6.2 透镜的焦距和基点位置
把透镜的两个折射球面看做是两个单独的光组，只要分别求出它们的焦距和基点位置，再应用前述的光组组合公式就可以求得透镜的焦距和基点位置。
1．单个折射球面的主点
在近轴区内，单个折射球面完善成像，它也具有基点和基面。
如图3.31所示，对于主平面而言，其轴向放大率为+1，故有
即
nl′H＝n′lH
将单个折射球面的物像位置关系式lHl′H，得
因为nl′H＝n′lH，上式左边为0，故有
图3.31 单个折射球面的主点位置
由于
，只有lH＝l′H＝0时，上式才成立。所以，对单个折射球面而言，物方主点H、像方主点H′和球面顶点O相重合，而且物方和像方主平面切于球面顶点O。
2．透镜的焦距和基点位置
对每个折射面，利用单个折射球面的成像公式：
只要令l＝－∞，此时求得的l′就是单个折射面的像方焦距f′。令l′＝+∞，此时求得的l就是物方焦距f。假定透镜放在空气中，即n1＝n′2＝1；透镜材料折射率为n，即n′1＝n2＝n，则有
透镜的光学间隔：
Δ＝d－f′1+f2
由两个光组的组合公式可求得透镜的焦距：
透镜的焦点位置为
透镜的主点位置为
3.6.3 举例
例3.7 双凸厚透镜两个表面的曲率半径分别为100mm和200mm，厚度为10mm，玻璃的折射率为1.5，试求其焦点、主点和节点的位置。
解 两个折射球面的焦距为
光学间隔
Δ＝d－f′1+f2＝110－300－600 m m＝－890mm
透镜的焦距
焦点位置
主点位置
节点位置
x′J＝f＝－134.8mm
xJ＝f′＝134.8mm
例3.8 薄透镜L1对物体成放大率为β1＝－1的实像，将另一个薄透镜L2紧贴在L1后面时，看见物体向薄透镜移近了20cm，放大率变为原来的3/4，求两个薄透镜的焦距。
解 在没有L2时，有
；在有L2时，有
，由以上两式解得l＝－80cm。
对透镜l1，由高斯公式，有
，解得f′1＝40cm。
对组合系统，
，解得组合系统的焦距
。
由组合系统的焦距公式，有
。
解得
f′2＝240c m。
例3.9 由焦距为10cm的薄凸透镜L1和焦距为－17.5cm的薄凹透镜L2构成的复合光学系统，两透镜之间的距离d＝5cm，求：（1）该光学系统的主点位置。（2）若物点置于透镜L1左方32c m处，试求成像位置。
解 由已知条件f1＝－10cm, f′1＝10cm, f2＝17.5cm, f′2＝－17.5cm, d＝5cm可得光学间隔Δ＝d－f′1+f2＝5－10+17.5cm＝12.5cm
（1）组合光学系统的焦距：
主点位置为
（2）由高斯公式
，有
。
解得
l′＝28c m
所以，成像在L2的右侧21cm处。
例3.10 如图3.32所示，有一双凹透镜，放于空气中，r1＝－8cm, r2＝7cm, C1, C2分别为两折射面曲率中心，O1, O2分别为两折射面顶点，d＝O1O2＝2cm，透镜折射率n＝1.5，求：
（1）系统的焦点F, F′的位置及主点H, H′的位置。
（2）在O1前方8cm处放一物，求像的位置。
图3.32 例3.10图
解（1）求焦点位置和主点位置：
由组合焦距公式求透镜的焦距为
焦点位置为
主点位置为
（2）求像的位置。
由高斯公式
所以
，解得
l′＝－3.92c m