问题8 如何开展统计与概率教学？

【观点与案例】

“统计与概率”的内容不仅与实际生活密切相关，而且它所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会大数据时代一种普遍且强有力的思维方式．因此，在义务教育新课程中成为与“数与代数”、“图形与几何”、“综合与实践”并列的四部分内容之一．但是，在实际的教学中，由于这部分内容与教师之前熟悉的代数与几何等学生已接触到的数学内容在研究对象、研究思路、研究方式等方面都有根本的不同，对教师的教学提出了较大的挑战；再者，中考等各类统考对这一部分的内容考查都比较简单，学生对这部分内容的实际掌握情况很难通过考试区分开来，使得师生对这部分内容的学习都不够重视．笔者在平时的调研听课中，发现了较多教师不以为然的教学不合理现象，本文试图透过这些现象挖掘成因，改进“统计与概率”内容的教学．

一 发展数据分析观念，把握核心价值

在中考评价考试中，“统计与概率”内容的常见考题是：区分必然事件、不可能事件与随机事件的概念，区分全面调查与抽样调查的概念；根据已知信息补全统计图表；求一组数据的平均数、中位数、众数、方差等统计量；画树状图或列表求简单随机事件的概率；根据表格中所列的频率来写出概率．因此，从“得分”的角度看，这些考题基本都属于“送分题”，学生只需熟知基本概念，记住公式便可得到分数．正因为考试评价的教学指挥棒作用，许多教师不愿意花时间研究这些内容的教学，将统计课教成“代数课”：重点介绍计算方法，如平均数只是让学生学会计算，而没有让学生理解平均数是反映数据集中趋势的统计量，如概率重点让学生学会画树状图应付考试．这与开辟“统计与概率”内容板块的初衷有极大的偏差．

事实上，统计的核心是数据分析．《义务教育数学课程标准(2011年版)》对“数据分析观念”解释为：了解在现实生活中有许多问题应先作调查研究、收集数据，再通过分析数据作出判断，体会数据中蕴含的信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情，每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就有可能从中发现规律．

著名特级教师胡赵云老师认为，数据分析观念可以从数据分析意识、数据分析技能、数据分析评判质疑能力三个方面加以理解和落实．数据分析意识，是指在现实生活、经济运行、生产营销等活动中遇到问题时，有先进行调查研究、收集数据的意识，有通过数据蕴含的信息进行判断与决策的意识，有用数据说话的意识．数据分析技能包括设计活动方案、收集数据、整理数据、描述数据、分析数据和作出推断的技能．数据分析评判能力包括对自身统计活动的数据和结果的评判与反思以及对他人所提供的数据和结果进行合理判断的质疑意识与能力．

二、注重数学实验设计，帮助学生理解

树立数据分析观念，不是单纯地学习统计与概率的名词、计算方法，最有效的方法是让他们投入到数据分析的全过程去．这里的全过程指的是收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程．要让学生经历数据分析的全过程，可以设计数学活动，让学生在数学活动中体验由数据进行推断、预测、决策的过程．举例说明如下：

【案例1】浙教版九上《2.1事件的可能性》体验可能性大小活动设计

活动设计1：在有2个白球和8个红球的不透明箱子中任意摸取一个求，摸到白球的可能性是多少？

活动设计2：一个不透明的箱子有10个球，有一些白球，一些是红球，请你通过实验说明摸到红球的可能性是多少？

【评析】古典概型的概率实验，其根本目的“不是验证相关事件发生的概率值，也不是发现事件发生的概率值，而是帮助学生体会相应事件发生概率的含义”．以上活动1学生已经能够通过列举的方法知道可能性为0.2，学生没有探究的欲望，这种用类似定义的方式教学随机，达不到培养学生随机观念的目的．活动2让学生感受到每一次摸的结果事先都不知道，但摸多了能够帮助我们作一些判断．在实验的过程中感受数据的随机性：对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的，特别是在具体的某次实验时不一定出现，但是在大量的重复实验时会呈现出一些规律，非常可能出现．让学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着信息．

【案例2】你会选择到哪一家公司应聘？

活动设计1:A公司和B公司员工1月份工资情况如下：

活动设计2:A公司和B公司招聘员工，小明想根据员工的收入情况确定去哪一家公司应聘，请你帮助小明设计一个调查方案，帮助他作出决策．

【评析】以上两个活动中，活动1直接给出数据，让学生进行判断；活动2让学生自己给出调查方案，自己在设计方案的过程中，需要明确统计的目标，制定抽样规则，再收集数据，描述数据，整理数据，再作出判断．也许学生收集到的也是如活动1中的数据，但是这些数据是学生自己想收集的数据，并不是给他们的现成数据，这样的活动设计能让学生经历统计的过程，也能使学生对数据处理的过程和结果又比较准确的理解、解释．

史宁中教授指出，“我们赞成做实验，赞成用统计的思想做实验”，不采用直接告知的方式而是通过数学实验来组织教学，其目的是让学生真正参与活动，深化理解．所以，在设计活动时，应该让实验具有操作性、探究性．

三、加强知识联系，掌握数据分析技能

诚然，“统计与概率”内容的学习是为了发展学生的数据分析观念，但是，数据分析观念的培养要以真实的数据为载体，离不开数据的整理与分析．数据整理包括：将数据分组、计算各组频数、作频数分布表、作频数分布直方图，计算样本特征数(反映集中程度的特征数如平均数、众数、中位数、加权平均数，反映离散程度的特征数如方差、标准差等统计量)我们既要知道在何种条件下用什么样的统计量来进行整理，又要借助计算器或者纸笔运算来进行计算，以免因为计算错误导致推断错误、决策失误．在教学中，我们可以加强知识间的联系，如以“类比”的方法帮助学生识记图表，掌握特征数的计算，提高数据分析技能．

【案例3】《条形统计图与折线统计图》教学片断(宁波七中杨慧老师执教)

师：在前一节课中，我们刚刚学了统计表，今天老师给大家带来一张未完成的统计表(如图1)，同学们觉得它缺少什么内容呢？

生1：统计表内缺少数据！

师：对！一张完整的统计表，除了标题、标目外还应有数据！现在，哪5位同学愿意亮出自己的身高呢？

(5名学生自告奋勇地报出自己的身高，教师当场输入表格内，如图2)

师：这样，一张完整的统计表就制作好了．它包含了三部分：标题(含制作日期)、标目、数据．

师：根据统计表中提供的数据，你能看出哪两名学生的身高相差最大呢？

生众：(停顿了一会儿)学生3和学生5的身高相差最多！

师：你是怎么得到的？

生2：我通过比较这些数据的大小，发现最大数是1.72，最小数是1.48，所以学生3和学生5身高相差最多！

师：现在，我们全班有50名学生，你有什么办法最快地找出两名身高相差最大的学生？

生3：要知道每个学生的数据，然后像刚才一样比较大小 ……

(还没等他说完，另一个男生迫不及待地站了起来)

生4：让他们站起来！当然要站在同一平地上！

师：比如，像这样站起来！(老师边说边用FLASH动画演示，让人物按照表格对应的数据站起来，如图3)一站起来，我们无需数据，并且能更快地发现学生3和学生5的身高相差最大！如图4，现在我们在每一个人物对象的下方标上他们对应的“姓名”，画一条水平方向的直线，表示他们站在同一水平线上，再在旁边竖直方向立一根标尺，表示他们的身高，你看数据也很清晰地表示出来了！

师：这种“站起来比身高”的办法确实给数学家们带来了很大的启发，但是比身高要画人，比电视机的销售量要画电视机，是不是太麻烦了呢！

(还没等老师把话说完，学生举手了)

生5：那我们可以把“人物”用一条线段来代替！(生5的回答出乎了老师的意料，老师延缓了评价)

生6：我觉得可以用“长方形”代替人物！

师：很聪明！同学们都想出了自己的办法！为了让图形更直观大方，我们用简单的图形 …… 长方形来代替．再把它对应的数据标在长方形的顶端．(老师边说边用FLASH动画演示把“人”替换为“长方形”的过程，如图5和图6)

生：(哇！精彩的欢呼)

师：这幅图也包括了统计表中所有的信息，谁能给它取个名字呢？

生：条形统计图！把统计表中的标题及制表日期写在图形的上方，这样统计表中的有的这张图中也有了．

师：很好！我们再把统计表中的标题及制表日期写在图形的上方，这样一幅完整的统计图就制作好了！

师：跟统计表比较，统计图有哪些要素呢？

生：标题、标目、数据

师：条形统计图与统计表比较有哪些优势呢？

生：更直观、形象了！

【评析】本教学片断先让学生“填写完整的统计表”，既让学生经历了真实数据的收集过程，又自然地勾起学生对统计表三要素的回顾．然后提出问题“如何更快地找到身高相差最大的两名学生？”和“如果全班有50名学生，如何最快地找出两名身高相差最大的学生？”，让学生通过思考自然想到“站起来”解决问题，出现了统计图的雏形．然后教师引导学生从水平线的姓名表示，到竖直线的标尺，以及“站起来比身高”帮助学生体验从统计表到统计图的信息转换，并由此抽象归纳出条形统计图．在这个教学片断中，我们并没有告诉学生怎样画统计图，代之以如何将统计表中的信息转换到统计图中，把统计图作为数据信息的另一种呈现形式，并保持“标题、标目、数据”三要素不变，让学生学会一脉相承地来学习统计图表．事实上，在后续的折线统计图中学生已经自觉地把统计表、条形统计图的信息进行转换，轻松地掌握运用图表进行数据分析的技能．

数据分析可以分为描述性统计分析和推断性统计分析．描述性统计分析是通过集中趋势、离散程度、图形表示等来刻画数据，而推断性统计分析是利用样本数据去推测总体的情况．在统计与概率教学中，我们要运用联系的方式学习，如类比统计表学习统计图，类比频数分布表学习频数分布图，类比列表法学习树状图等．

四、归纳提炼模型，凸显问题解决和应用

统计是为应用服务的．数学课程标准指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径．模型思想的建立不仅有助于学生运用数学的思想方法解决问题，对提高学习数学的兴趣和应用意识也有很大的帮助．在本板块中，我们会接触到较多的现实生活中的问题，我们也会用学习的统计量来解决实际问题．解决问题要求我们要将实际问题转化为数学模型，这个“数学化”的过程就是归纳提炼模型的过程．我们在教学中创设让学生经历数学模型的提炼归纳的过程，帮助学生逐步学会建立模型解决问题．

【案例4】《水库里有多少鱼？》教学设计(浙江省特级教师胡赵云老师执教)

问题1：如图6中所示是一个大水库，要想知道这水库里有多少鱼，你有什么办法？

问题2：如图7，在小学的摸球游戏中，你学到了什么？

活动1：老师给每一组同学准备了一袋棋子，如果不允许你倒出来，你怎么知道袋子里棋子的组成？

活动2：如图8，袋子里装有形状相同的棋子，其中有20颗白色棋子，请设计一个操作方案，估算袋里的棋子数．

问题3：我有一袋棋子，里面全是白色的，怎样估计袋子里面棋子的总数？

问题4：要想知道一桶大豆有多少粒，你有什么办法？

思考：估计一片森林里有多少野鹿？估计某城区里有多少野猫？估计一片试验田的水稻产量是多少？

【评析】本课教学要解决的问题是“水库里有多少鱼？”，许多老师会直接告诉学生按“捉→放→捉”的操作思路估计水库里有多少鱼？学生也能学会解题．但是，胡老师却花了大力气来讲“水库里有多少鱼？”这个问题，目的是让学生经历模型建立的过程：先提出问题(水库里有多少鱼？)→ 回顾“箱中摸球”→ 实验“袋中摸棋”→ 思索“桶中数豆”→ 联想“水库数鱼”等一系列环节，让学生亲历实验，经历收集、整理、分析数据的过程，感受“桶”、“袋子”、“水库”都是“莫大的箱子”,“棋子”、“豆”、“鱼”就是“球”，循序渐进地帮助学生建立模型．一步一步地理解模型．课尾，胡老师又分享了4个类似的问题，并归纳科学家的解决办法，让学生运用“摸球游戏”的模型来解决问题，进一步融化，模型思想悄然植入学生的内心，感受数据分析的价值和意义，感受数学在生活中的广泛应用，深刻诠释了概率与统计教学的核心价值．

“统计与概率”属于“不确定性”数学内容，它与“确定性”数学相比有很大的不同：几何的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法；而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法；统计学的推断过程在本质上是归纳法，这是一个从部分推断全体的方法，是一个从特殊到一般的方法．即它们研究的思路与方式不同，数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且很多时候是不完全归纳推理．它们的判断原则不同，代数与几何在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错；统计学对结果的判断标准是一种优与劣的程度．可以说，“统计与概率”是义务教育阶段唯一以随机的观点来理解世界的教学内容，它能帮助学生形成自觉运用数据进行推断的思维方式，用随机思想解决问题，逐渐形成随机的思维方式，为学生的思维打开了另一扇窗户，形成良好的数学思维结构．

【思考与讨论】

1．你如何理解“统计与概率”教学对形成学生独特思维方式的重要性？

2．请你以“平均数”一课为例，分析中小学教学的联系和区别．