教学名师：谢建伟注重价值导向，培育理性精神

人物档案

谢建伟，中学高级教师，舟山市高中数学学科带头人与挂牌名师。浙江师范学院舟山分校数学专业毕业，1982年8月参加教学工作，1990年浙江教育学院数理系本科毕业，现任教于浙江省舟山中学。

曾获得舟山市A级教师、市级教坛新秀、教育系统区级先进工作者、舟山市属教育系统优秀共产党员等荣誉称号。2004年当选舟山市中学数学会副会长，2005年被浙江海洋学院（现浙江海洋大学）聘为“舟山市高中数学继续教育主讲教师”,2013年被浙江海洋学院聘为“客座教授”。

自2006年以来多次应邀参与浙江省高考数学命题工作及高考新模式的相关研究性工作。主编的专著有《迈向成功之路（数学分册）》等，发表论文数十篇，自主开发的两个高中数学选修课程分别被评为2013年、2014年浙江省网络推荐课程。

教学艺术

造假现象在社会上普遍存在，教学过程也有造假问题。我们发现，有些学科考试成绩差的学生到了社会上却能成为比较成功的企业老板，商场好手。其实，那些学生中不乏聪明者，真正愚蠢者可能恰恰就是教育工作者自己或课程标准。一个高中生在学校里听着讲解，做着练习，到头来高中数学学业考试成绩只有三四十分，这能说不是教学过程造假所致？

教学时若只是将虚假面展示给学生，久而久之无声地拉大了学生与学习的距离，考试成绩差也就在所难免。

一般来说，以下三种表现会涉嫌教学造假：

（1）备课时“简单搬抄”；

（2）课堂里“模仿演戏”；

（3）分析时“一讲到底”。

将教学过程还原真实，乃教学充满艺术性之根本，也是我三十多年教学生涯的信条和追求。以下是我所理解的教学艺术，相互共勉。

一、情感融入艺术及其注意点

学习和做事一样，情感放第一位。一个喜欢学校学习生活的学生，在假期时反而会有压抑感。“此间乐，不思蜀”，让学生对数学学习不失情感是学好数学的首要条件。高中数学教学中的情感融入“不仅是加入非智力因素，而且宜偏向知识结构和智力因素的简化方面”，其艺术性要把握三个注意点。

（一）注意学生知识结构

仔细留意会发现个别学生的知识结构与课程学习完全脱节。情感融入会拉近学生与学习间的距离，从而使学生想学、能学。

必修1的第78页安排有一个例题：证明幂函数上是增函数。

有一次，我把这个题交给一个高二学生来做，结果做不出来。我给出提示“试试分子有理化”，学生想了想回答“不知道”，我再提示“就是让根式只在分母中出现”，学生还是不会。当我注意到该学生知识结构上存在问题时，就给加了3个小题：

（1）2等于哪个数的平方？

（2）设a, b＞0，则。

（3）。

学生做完这些题后，再告诉他：像第（3）小题这样的变形也称“分子有理化”（取个名容易记住），最后学生回到原题完成了证明。

（二）注意生活经验元素

数学源于生活，生活最富情感。人类会因为生活（包括学习）而形成许多经验性元素，数学教学如果没有融入生活情感，那么就会犯下很大的错误。

2009年浙江省数学高考中有这样一道选择题：

设向量a, b满足|a|=3, |b|=4, a·b=0。以a, b, a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）

A.3个

B.4个

C.5个

个D.6

一些考生只是考虑从数学建模上手，结果花费很多时间终不得解。

事实上，学生若有联系生活经验的解题意识，则可以像玩游戏一样把答案做出来。

由于构成边长为3,4,5的直角三角形，其内切圆半径恰好等于1，如图1，圆被三角形紧紧扣住，所以有三个公共点；现在让圆在同一平面内动起来，使圆至少与其中一边不相切，分别会出现如图2、3、4的情形，可见三角形的边与圆的公共点个数不会超过4个，故本题选B。

由此可见，教师要善于在教学中实时插入学习活动和生活元素。

（三）注意学生相异构想

如果教师自以为学生会解这个题，就在课堂上一讲到底，而丝毫不顾及学生中的相异构想，那么不仅会挫伤学生的情感，而且也将错失一次次极佳的教学时机。学生的一些相异构想常常极具创造性，甚至于超出我们理解和解释的范围，因而极其宝贵。

一次课堂上，给出这样一道选择题：

如图5, ∠P OQ=120°, A、B分别是射线O P、OQ上的动点，|AB|=22, M为AB 中点，则点M的轨迹是（）

A．圆

B．圆弧

C．椭圆

D．椭圆弧

本题通常解法是：

运用求轨迹五步法（建系、设点……）得到点M的轨迹是椭圆弧，故选D。

然而，课堂中有学生运用如下“有点奇怪的想法”得到了“点M的轨迹是圆弧”这一完全不同的答案：

如图6，运用反客为主的思想，因为点O可以看作是“以线段AB为弦且所含圆周角为120°的弓形弧上”的点，再反过来，当定点O位于图中点M的位置时，点M必位于图中点M′的位置，故可知点M的轨迹还是圆弧。

如果教师这时说“本题不能这样做”，显然没有说服力！

我的做法是：①肯定学生的想法非常有道理；②答案不对，表明解法中某一处欠严谨；③由同学们一起顺着这个思路，讨论其可行性。

最终在学生前半部分想法的基础上，讨论得到了后半部分解法：

如图7，结合“∠POQ的固定性”，则当位于弓形弧上的点O、点O′各自移动到点M的位置时，原来的点M分别移动到点M′、点M1的位置，现转动∠AO′B 使与∠POQ重合，这样“圆弧就被拉长”，再联系对称性和题中选项信息，可知点M的轨迹是椭圆弧。

二、问题原创艺术及其立足点

对数学材料进行加工，原创数学问题，是教师的基本功和基本素养，问题原创要做到“语言简练，意图明确，运算不繁”，其艺术性要凸现三个立足点：

（一）立足课程教学目标

知识学习一般有了解、理解、掌握三个层次，问题原创必须与每个层次的教学目标相适应。

原创题：若点A（0,1）落在圆C:x2+y2+2x-4y+k=0（C为圆心）的外部，则实数k的取值范围是。

适用范围：课程“点和圆的位置关系”的学习。

作用：提醒学生用数量关系正确表达点和圆的位置关系，同时不要忽视题中隐含条件。

简解：C的圆心为（-1,2），半径为，则, A在圆外部，则，得3＜k＜5。

（二）立足学生认知偏见

学生容易犯一些认知偏见性错误，如“以偏概全”,“知其一不知其二”，问题原创可助学生防范这类错误。

原创题：函数 是R上增函数，求实数a的取值范围。

适用范围：学生会求函数单调区间。

作用：提醒学生正确认识函数的单调性，函数的若干个不连续的增（减）区间有时也可以合成一个。

简解：a＞0①,2-a＞1②, a×1+a≥2-a③。

解得。

（三）立足学业考试水平

高中学业考试或高考是对学生学业水平和学习能力的综合检测，试题灵活多变。在考前复习阶段，学生大脑中各类知识、多种解题思想方法的信息量呈现纵横交织状态，问题原创会有意外之效。

原创题：在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, , ，cos2C=。

（Ⅰ）求B, a的值；

（Ⅱ）若，如图8, D为边BC中点，P是边AB上动点，求CP+PD的最小值。

适用范围：解三角形（高考复习）。

作用：提醒学生解三角形时除了正、余弦定理的灵活选用，还要注意同类问题在知识交汇处的变式。

简解：（Ⅰ），得a2+c2-b2=ac①，从而，由②，代入①得a2-3a+2 =0，解得a= 1或a=2。

（Ⅱ）由知a=2。作C关于AB的对称点C′，连C′D, C′P, C′B，则CP+PD=C′P+PD ≥C′D =，当C′, P, D共线时取等号，故CP+PD的最小值为。

三、习题讲解艺术及其思考点

数学解题是数学水平的具体呈现，数学习题反映了数学知识。电子网络化的发展更使得教辅资料、练习题海量涌现，也催生了一种时新的学习方法叫作“刷题”。习题讲解作为最基本的教学环节，教师不能“只是就题解题，讲了一题又一题”，其艺术性应突出三个思考点：①共通性；②差异性；③变通性。

数学中的很多题与题、式与式之间或具有共通性或具有差异性或具有变通性，教师在习题讲解时，若能对此加以思考，则能极大提高学生的数学解题水平。

有这样一道填空题：

设a2sinθ+acosθ-1 =0, b2sinθ+bcosθ-1 =0, a≠b。若M（a, a2）, N（b, b2），则直线MN 与圆x2+y2= 1的位置关系是____。

分析：

①两个已知等式的结构具有相似性；

②将点M, N的横坐标a, b统一成x，纵坐标a2, b2统一成y，那么这两个已知等式可统一写成sinθ·y+cosθ·x-1 =0；

③一次方程sinθ·y+cosθ·x-1 =0表示直线；

④点M, N都在直线sinθ·y+cosθ·x-1 =0上；

⑤两点确定直线。

可见直线MN的方程是：sin θ· y+cosθ· x-1 =0，

从而圆心（0,0）到直线MN的距离，

故直线MN 与圆相切。

总之，教学艺术，大道若简，大智若愚，求简求真，教师若愚，学生大智。

成长经验

每一个人的人生道路，与个性相关，没有绝对的好与坏，但是无论做什么事情，选择了就一定要做好。

13年乡镇中学教学生涯，因为教学方面成绩斐然，1995年8月，被调入浙江省一级重点中学——舟山中学任教。在教学和育人上的热情和执着，34年的教龄沉淀下来的已经是深厚的教育情怀。如今，身处于数学的殿堂，驰骋自如，回味对数学最初的痴迷，提炼在教书育人路上的感悟。

一、润物无声三春雨，育人路上执着行

年少时的梦想是做工程师，步入教师这一行属于意外。很多当年的老师都觉得我不适合做教师，因为曾内向、不擅言语。然而后来在教学领域的一路高歌，让所有曾经预言的老师意外不已。

自小就对教师非常崇拜，感觉教师职业十分神圣。中学时代数理是我的喜爱和强项，因此数学专业的学习对于我来说无疑是很愉悦的。还记得大学时代，自己在音乐爱好上的培养，口琴、吉他、小提琴……不少乐器都成为我的喜爱，感觉到生活中还有那么多陶冶情操的东西，兴奋之情不言而喻；还记得那时经常参加志愿者活动，比如上街免费为学生们开展数学问题的咨询活动——用自己掌握的知识服务他人、帮助他人，这使我感到了莫大的价值感。

评定优秀教师的依据显然来自学生的优秀。在舟中连续五届担任理科实验班数学教师，我追求差错少、高质量的个人数学教学功底，注重培养“合格+特长”型的自主学习能力强的学生，因而重视对学困生的个性化指导和优秀生的竞赛级辅导。当然，也教出过不少出色的学生：自2003年以来有40余名学生获得全国数学联赛一、二等奖，其中学生刘柯桢以高考714分列入当年浙江省理科前十名，被北京大学元培班录取，有数十名学生考入北京大学、清华大学。

二、教学有方，让知识如当春好雨般嵌入学生的心灵

任何的热爱都需要有互动，可以说学生的欢迎和喜爱促进了我对这个职业的热爱和责任感。

把教学看作一门艺术，重视教学风格的打造。我认为学生都是有水平的，关键是教师怎样引领学生进入数学王国，并能有所收获。总是想方设法设计角度新颖的知识点，用生动形象的语言表达枯燥的数学概念，力求让学生爱听、听懂、会用；总是擅长在轻松和幽默中传播知识，启发学生们进行深层思考；总是坚信感染力重于说服力，在教学中注入情感，在与学生对知识的共鸣中达成教学目的。“数学归纳法起步课”“等价性与数学解题”“数学解题思维策略”等公开课分别在市内、省内开设，听课教师和学生有数千人之多。

给学生信心始终是我的教学理念。将自己在数学学习上的方法毫无保留地教给学生，告诉学生老师的知识也是来自学习书本和平时思考，让他们知道知识和老师并不神秘，他们通过培养自我学习和思考的能力，也可以达到甚至超越老师的水平，从而让学生更有信心。不少学生因为树立了自学的思想，掌握了自学的方法，受益匪浅。比如我初中教学时的学生夏志罡，由于已经养成自学数学课外读物的习惯，尽管没有参加过学校组织的任何数学竞赛辅导，最后却在全国高中数学竞赛中取得了浙江省第四名的优异成绩，并被保送复旦大学。

严谨治学，是我一直坚守的信念。一些人觉得数学是枯燥而抽象的，但在我看来，现实世界中许多现象都可以提炼成抽象的数学模型。数学教学注重生动具体，提问也总是富有启发性，让学生从不同角度去思考问题，开阔视野。作为一名合格的教师，必须严格要求自己首先对讲述的知识点吃透领悟，因为理论知识只有自己彻底理解后才会讲解得通俗易懂。学习和研究始终伴着我的教学生涯，并以此来增加自己教学的底气，在课堂上将研究成果与学生分享。

三、育人有术，让情感关怀贯穿始终

根号内字母大于等于零，而去掉根号后字母也大于等于零。数学上不少道理和数学理论用到育人方面，会有豁然开朗的感觉。

做事情不应计较个人得失，要学会从整体角度认识做事的重要性，然后努力把事情做好才是处世的基本态度。很多事情不是一个人就可以完成的，而是很多力量的综合。而我的处事风格很简单：知道自己所处的位置，从当前最细小的事情开始，稳步向前。教书育人，教的是知识，育的是心灵。我希望严谨和正直，可以濡润学生们的精神世界。

由于长期担任班主任，在育人方面颇有心得。老师要从本质上关心学生，爱护学生，学生心理健康和身体安全是第一位的；对学生的评价是全方位的，学习成绩不是唯一标准，即使在批评学生的时候也不能忘记表扬他，鼓励和激励学生都需要技巧，学生偶尔犯点错误，在坚持原则的同时应该宽容对待；对学生的心灵和精神世界要给予关爱，尤其是对在经济和学业上的贫困学生。我认为教师要从行为习惯、素质培养的角度予以渗透、潜移默化、言传身教。

我也经常翻阅心理学、教育理论方面的书，结合实际有所创新地开展育人工作。教师要以淡然的心态，严格要求自己，应时刻以良好的精神面貌、乐观的精神状态和勇于改正错误的态度展现在学生们面前，不断给学生以自信。

做事轻松，心里没有压抑感，能够全身心投入，就是有品质的生活和事业；感觉到自己拥有为学生服务的才能，就是成功的。回想过去，那个年代的人缺乏主动的激情和勇气，也许由于自己当年的“安分守己”，自己许多潜能未能真正发挥；展望未来，想培养不安分守己、具有冒险和开拓精神的学生。教育学生的眼光放得远，放得深，尽可能发挥每个学生的潜力和长处，这大概就是教师的职责所在吧。

经典课堂

注重价值导向，培育理性精神——“存在性与任意性”三看

一、背景思考

“全称与特称命题”作为高中数学教材的新增知识内容，随之而来的问题是：这类知识考不考？怎样考？引发中学教师的广泛争论。事实上，对教材认识不能仅仅停留在“考不考”这类表象上，课程的真正意义更在于提醒教学：“存在性与任意性”在数学学习和解题中具有现实性和普遍性意义。

“任意性、存在性”在数学学习中并不孤单，很多数学命题表面上没有关于“任意、存在”的表述，本质上却隐含了任意性与存在性。

（1）对于语句p:“若a＞b，则|a|＞|b|”，它的否定不能简单解读成：“若a＞b，则|a|≤|b|”。这里的条件是指“任意满足a＞b的两个实数a, b”。

（2）关于函数y=sinx, x＞0是周期函数的正确理解是：对任意x∈R+，存在T＞0，使f（x+T）=f（x）。

与任意性、存在性相关联的数学概念、数学性质、数学命题比比皆是，因此教师有必要在课程学习的基础上加以较高观点的专题引领。

二、教学目的

1．借助与“存在性、任意性”本质上相关联的问题，通过三（个维度）看“存在性、任意性”，让学生认知并感悟“任意性、存在性”在数学学习中的普遍性和现实性意义。

2．理解并掌握一种新的数学解题模式“先存在性，后任意性”。

3．在活动中维系学习情感并体验对立统一、数形结合等数学思想方法的运用，提升学生驾驭数学问题的能力。

三、教学重点与难点

重点：认识并理解“任意性与存在性”在分析问题、解决问题中的作用。

难点：理解并感悟由任意性、存在性构建数学解题模式。

四、教学方法

空降法结合启发讨论式。

五、教学过程

（一）导入课题

师：量词“存在、任意”在数学题中的出现，给解题提出了更高要求。“存在性、任意性”其实离我们不远。

师生（回顾）:“存在性、任意性”贯穿在从初中到高中整个数学学习过程中。

（1）（初中）已经知道：

152=225

252=625

352=1225

……

师：如此明显规律的背后是什么？

生：（10a+5）2=100a（a+1）+25，其中，a为（任意）正整数，规律（特殊性）存在于一般性“表达式”之中。

（2）（高中）记等差数列{an}前n项和为Sn，若存在正整数k，使ak+ak+1=0，则

Sk-1=Sk+1

Sk-2=Sk+2

Sk-3=Sk+3

……

Sk-i=Sk+i, i= 1,2, …, k

进一步有

S2k-n=Sn, n= 1,2, …,2k-1

（3）关于x的方程2x2+（m-4）x+m=0在（0,1）内恰有一个实根，求实数m的取值范围。

师生：记2x2+（m-4）x+m=f（x），则可能存在三种情况：

f（0）f（1）＜0，或f（0）=0（检验），或f（1）=0（检验），

解得0 ＜m≤ 1。

师：可见，这类常见的习题也关联着存在性、任意性。

（二）课题展开

（显示课题：三看“存在性与任意性”）

1．看知识本身

（1）量词“存在、任意”出现在命题中。“存在、任意”的专用符号是“∃, ∀”。

全称命题的否定是特称命题；反之亦然。

命题“∀x∈G, P（x）成立”（全称命题）的否定是“∃x0∈G, P（x0）不成立”（特称命题）。

（2）量词“存在、任意”藏匿在命题中。下列说法是否正确？

命题“若a＞b，则”的否定是“若a＞b，则”。

生：说法肯定不对，因为上述两个命题都是假命题，与命题的真值表矛盾，但我不知道问题出在哪里。

师：如果在语句中加入“存在、任意”的量词，再看看？

生：噢，我知道了，这是一个省略量词的特称命题，其否定应当是全称命题。

师：课程新增“全称与特称命题”，不管高考考不考，其言外之意是：数学学习要关注“存在性与任意性”。

2．看思维影响

“存在性与任意性”可以作为解题时的思维策略。

【例1】（1）“函数y= sinx在第一象限内为增函数”的说法是否正确？

生：说法是正确的。

师：（启发）增函数如何判断？

生：任取第一象限内两个不同的x1, x2，且x1＜x2，总有sinx1＜ sinx2。

生：说法不正确，如取第一象限内, ，满足x1＜x2，但，由定义可知函数y= sinx在第一象限内不是增函数。

（2）对任意x∈R,（x-1）·f′（x）≥0，则（）

A.f（0）+f（2）＞2f（1）

B.f（0）+f（2）＜2f（1）

C.f（0）+f（2）≤2f（1）

D.f（0）+f（2）≥2f（1）

生：思考，讨论，从条件知函数单调性，结合图像，本题选A。

师：将“存在性与任意性”作为思维策略，大量数学疑点迎刃而解，大量数学方法（如分类讨论、取特殊值等）纷至沓来。

想一想，下面问题怎么解？

设f（x）=x, g（x）=x2+a, x∈ [0,3]。

（Ⅰ）若不等式f（x）＞g（x）有解，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围。

答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）a＜-6

3．看应用价值

创新数学解题模式“先存在性，后任意性”。

【例2】 若对任意x∈[0,1], -1 ＜3x2-2ax+a-1 ＜ 1，求证：1 ＜a＜2。

生：（运用一般解题模式会有困惑）

师生：

取x=0,1，得-1 ＜a-1 ＜ 1, -1 ＜2-a＜ 1，则1 ＜a＜2。

又当1 ＜a＜2时，记f（x）=3x2-2ax+a-1，

对称轴，

结合图像可知，-1 ＜3x2-2ax+a-1 ＜ 1恒成立，故1 ＜a＜2。

师：一般解题模式：从任意性入手。特殊解题模式：先存在性，再任意性。其好处在于用特殊值先压缩参数的可变范围，使问题变得简单。两种模式在解题中，要灵活选用，不能一概而论。

教师引领学生解读下题及其解题过程：

设g（x）=x3+a，若对∀x∈[-1, a]，存在唯一实数b，使得g（x）∈[-b, -10b]，求实数a。

分析：从一般解题模式入手。

解：区间[-1, a]的存在，可知a＞-1，同理b＜0。

从x在[-1, a]内的任意性，得g（x）的取值范围是[-1+a, a3+a]，则

[-1+a, a3+a]⊆[-b, -10b]，

由实数b的唯一性，得，即a3-9a+10 =0，

（a-2）（a2+2a-5）=0，

因为a＞-1，故a=2或a= 6-1。

（三）课堂小结

1．通过三（个维度）看“存在性和任意性”：

2.“存在性和任意性”常以结伴形式出现，要特别注意两种解题模式的灵活选用。

3．一组“口诀”作为结束：

存在性 任意性 要三看

看知识 看思维 看应用

揪本质 创模式 爱思考

（四）课后习题

1．若f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R, f（x）+f（2-x）=0，证明：

（1）f（x）的图像关于点（1,0）对称；

（2）f（x）是周期函数。

2．求证：对任意t＞-2，总存在x0∈（-2, t），使，并确定这样的x0的个数。

3．定义在[-1,1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且对于a, b∈[-1,1], a+b≠0，有。若当x∈[-1,1], a∈[-1,1]时，f（x）≤m2-2am+1（m≠0）恒成立，求实数m的取值范围。

4．已知a＞0，设函数在[0, +∞）上是减函数，求实数a的取值范围。（提示：从单调性定义入手）

六、点评

课题设计以“任意性、存在性”在数学学习的长河中并不孤单为入口，层层递进，环环相扣，构思巧妙，富有情趣。教学过程呈现出以下三个特点：

（一）源于课程，高屋建瓴

站得高，看得就远。“全称与特称命题”作为高中数学新增学习内容，课题设计并不拘泥于“高考考不考”。教学过程巧妙地将“全称、特称命题”这一固化知识活化为“存在性与任意性”，并运用这一活化知识回过来破解一些看似简单又容易搞错的陈题，在教学活动中让学生真实认识并理解“任意性与存在性”在分析问题、解决问题中的作用，从而于更高层面阐述了课程学习的现实意义。

（二）设计巧妙，融入情感

教学设计以“一看知识本身、二看思维影响、三看应用价值”为主线，由浅入深，层层递进，环环相扣，凸现重点。教学过程妙趣横生而且融入情感，充分显示教师在分析问题和解决问题中的主导性和榜样作用，由活动引领学生进一步体验与感知“对立统一，正难则反、数形结合、分类讨论”等数学思想方法的运用技巧。教学过程前后呼应，情系学生，因而有效分散了教学难点。

（三）课题导出，耐人寻味

“先固化（知识），后活化（思维），再固化（应用）”彰显了课题学习的深层次含义，由“存在性、任意性”创建的两种解题模式要注意灵活选用，体现了数学思维的批判性、灵活性、变通性。课后“三字口诀”简约不简单，这些都为学生后续学习提供了参照典范。