第一节 行列式概念的引进

【课前导读】

在求解二元或三元一次线性方程组时，通过高斯消元法，不难发现方程组的解可以用方程组的系数和常数项来表示，但想强行记住这些表达式是很不容易的，特别是对于三元一次线性方程组．为此，行列式作为一种速记符号被引入．通过行列式符号，可使方程组解的表达式更加简洁和规整，更便于使用．

【学习要求】

1．了解二元和三元线性方程组的解与方程组系数和常数项之间的关系．

2．理解二阶和三阶行列式的概念和它们所表示的代数和．

3．掌握二阶和三阶行列式的对角线规则，并能使用对角线规则来计算二阶和三阶行列式．

一、二阶行列式

设有二元一次线性方程组

当a11a22-a12a21≠0时，由高斯消元法可得线性方程组（1-1）的唯一解

可以看出，线性方程组的解（1-2）由线性方程组的系数和常数项构成．若想强行记住这些表达式，是不容易的．为了便于记忆，人们引进符号

来表示代数式a11a22-a12a21，并称这个符号为二阶行列式．通常，二阶行列式的计算可用图1-1表示．

基于上述二阶行列式的概念，代数式b1a22-a12b2和a11b2-b1a21可分别记为

因此，当行列式

时，线性方程组（1-1）的解可表示为

其中，D由方程组的系数构成，称之为系数行列式．将D的第一列换成方程组的常数项可得D1，将D的第二列换成方程组的常数项可得D2．显然，式（1-3）比式（1-2）更便于记忆和使用．

例1 解二元一次线性方程组

解 根据给定的线性方程组，可知

因为系数行列式D≠0，所以方程组存在唯一解

二、三阶行列式

设有三元一次线性方程组

当a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31≠0时，由高斯消元法可得线性方程组（1-4）的唯一解

可以看出，线性方程组的解（1-5）也由线性方程组的系数和常数项构成．相对于二元一次线性方程组，若想记住这些表达式，更不容易．同样地，为了便于记忆和使用，人们引进了符号

来表示代数式

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31，

并称这个符号为三阶行列式．通常，三阶行列式的计算可用图1-2所示的对角线规则（也称为沙流氏规则）来记忆．

基于上述三阶行列式的概念，代数式

b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3, a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31, a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31

可分别记为

其中，D由方程组的系数构成，称之为系数行列式．将D的第一列换成方程组的常数项可得D1，将D的第二列换成方程组的常数项可得D2，将D的第三列换成方程组的常数项可得D3.

因此，当行列式

时，线性方程组（1-4）的解可表示为

例2 用对角线规则计算行列式

解 D=1×1×2+2×0×2+1×3×3-1×1×2-2×3×2-1×0×3=-3.

例3 解三元一次线性方程组

解 根据给定的线性方程组，可知

因为系数行列式D≠0，所以方程组存在唯一解

在上文中，我们介绍了二阶和三阶行列式，并使用对角线规则来记忆它们所表示的代数式．下面我们来介绍一类特殊情形——一阶行列式．显然，一阶行列式只有一行一列，一般记为a，不记为，以免和a的绝对值混淆．

另外，需要指出的是，我们现在所使用的行列式表示法主要归功于柯西和凯莱．柯西第一个把行列式的元素排成方阵，并采用双足标记法，形成有序的行和列，凯莱第一个对方阵两边加上竖线，最终形成了现在的行列式表示法．

综上所述，我们介绍了一阶、二阶和三阶行列式的符号记法以及对角线规则．自然地，人们会联想到n阶行列式．为了从理论上系统地介绍n阶行列式，我们先要学习和掌握与排列相关的概念、运算和性质．

习题1-1

1．用对角线规则计算下列二阶行列式：

2．用对角线规则计算下列三阶行列式：

3．用行列式解线性方程组：

4．解方程.

5．证明等式=a3+b3+c3-3abc.