第21章　波　动

一、选择题

1．如图21-1所示，两相干波源S₁和S₂相距λ／4，（λ为波长），S₁的相位比S₂的相位超前π，在S₁，S₂的连线上，S₁外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的相位差是（　　）。[华南理工大学2010研]

图21-1

A．0　 

B．　 

C．π　 

D．

【答案】C

【解析】对于P点，波源、产生的波传到P点的波程差为：。

则相位差为：，故答案为C。

2．如图21-2所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e，并且n₁＜n₂＞n₃，λ₁为入射光在折射率为n₁的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的相位差为（　　）。[华南理工大学2010研]

图21-2

A．2πn₂e／（n₁λ₁）  　 

B．[4πn₁e／（n₂λ₁）]＋π

C．[4πn₂e／（n₁λ₁）]＋π　  

D．4πn₂e／（n₁λ₁）

【答案】C

【解析】本题需要考虑半波损失。介质中波长为入射到折射率为介质中时，此时波长满足。光波在厚度为e的介质中反射后，考虑半波损失后的光程差为：，则相位差为：。联立以上各式，可以解得：，故答案选B。

4．把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端，维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则（　　）。[华南理工大学2009研]

A．振动频率越高，波长越长

B．振动频率越低，波长越长

C．振动频率越高，波速越大

D．振动频率越低，波速越大

【答案】B

【解析】此简谐波为横波，柔软绳索中横波的传播速度为（为绳索中的张力，为绳索单位长度的质量），故当维持拉力恒定时则波速恒定。又波速、波长和频率满足如下关系:，故振动频率越低，波速不变时波长越长。

5．一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u。已知x＝l处质点的振动方程，则此波的波动方程为（　　）。[电子科技大学2006研]

A．　

B．

C． 

D．

【答案】A

二、填空题

1．一列火车以20m／s的速度行驶，若机车汽笛的频率为600Hz，一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为______和______（设空气中声速为340m／s）。[华南理工大学2011研]

【答案】（1）637.5Hz；（2）566.7Hz

【解析】（1）多普勒公式为：

 其中，、分别为波源和观察者的速度；

当观察者站在机车前面时，为0，为20，带入数值可得：

（2）同理可得，机车后面接受到的频率为：

2．一平面简谐波方程（波函数）为，在处有一反射壁，若平面波从空气传到反射壁而反射，反射时振幅不变，已知空气为波疏介质，则反射波波动方程为______，波节点的位置为______。[南京理工大学2005研]

【答案】；（）

3．如图21-3所示，设沿弦线传播的一入射波的表达式为

波在x＝L处（B点）发生反射，反射点为自由端（如图）。设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式是y₂＝______。[华南理工大学2010研]

图21-3

【答案】

【解析】简谐波的一般方程为，其中当波沿轴正方向传播时取负号，沿负方向传播时取正号。为波源初始相位。对于反射波，沿负方向传播故取正号，波源坐标为，由于反射端为自由端，故初始相位为。所以反射波方程为。

三、计算题

1．一振幅为10cm，波长为200cm的一维余弦波。沿x轴正向传播，波速为100cm／s，在t＝0时原点处质点在平衡位置向正位移方向运动。求

（1）原点处质点的振动方程。

（2）在x＝150cm处质点的振动方程。[华南理工大学2011研]

解：（1）设波动方程为：，由已知条件可知，，和。

则对于原点O的振动方程为：   

t＝0时刻原点的位移为:　

t＝0时刻原点O的速度为：　   

由题意得：可知；故。

因而波动方程为：

原点位置处的振动方程为：

（2）当时，振动方程为：。

2．（1）有一平面简谐波以波速u＝4m/s沿x轴正方向传播，已知位于坐标原点处的质元的振动曲线如图21-4（a）所示，求该平面简谐波的波函数。

（2）有一平面简谐波以波速u＝4m/s沿x轴正方向传播，已知t＝0时的波形图如图21-4（b）所示，求该平面简谐波的波函数。[厦门大学2011研]

图21-4

解：（1）由图21-4（a）可知，此简谐波周期为4s，振幅为0.04m，原点处质元的初始位移为0.02m,且速度沿y轴正向。由此可以确定平面波的波函数为

（2）由图21-4（b）可知，此简谐波振幅为0.04m，波长为4m,从而振动周期为1s。原点处质元初始位移为0.02m,且初试速度沿y轴负向。由此可以确定平面波的波函数为

3．一平面简谐波沿x轴正方向传播。已知波的周期为T＝0．5s，波长为λ＝10m，振幅为A＝0．1m。当t＝0时，坐标原点处的质点恰好在平衡位置并向y轴负方向运动。求：

（1）此波的表达式：

处质点的位移；

处质点的振动速度。[北京邮电大学2010研]

解：（1）∵在平衡位置并向y轴负方向运动，故初相位为。

∴ 此波的表达式为： m。

（2）将代入波动方程可得：。

（3）处质点的位移为，故质点恰好在平衡位置其振动速度达最大值为。

4．如图21-5所示，一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为y_p＝Acos（ωt＋φ），求

（1）O处质点的振动方程；

（2）该波的波动表达式；

（3）与P处质点振动状态相同的那些点的位置。[华南理工大学2010研]

图21-5

解：（1）经分析得到，O点的振动比P点的振动超前了，所以O点的振动方程为：

（2）波动方程为：

（3）与P点振动相同，则表示与P点的相位差相差，则这些点坐标为：

其中k为任意整数。

5．如图21-6所示，一简谐波向x轴正向传播，波速u＝500m/s，x₀＝1m，P点的振动方程为

（1）按图21-6所示坐标系，写出相应的波的表达式；

（2）在图上画出t＝0时刻的波形曲线。[华南理工大学2009研]

图21-6

解：（1）∵x₀＝1m，P点的振动方

∴相应波的表达式为:

（2）由题知，波长，令得，零时刻波形为：

其波形如图21-7所示

图21-7

6．某乐器为一根一端封闭，一端开放的细管，已知此乐器的基音频率为，求（设空气中的声速为v）：

（1）管的长度和第二谐波的频率。

（2）若打开封闭端，第二谐波的频率变成多少？[北京师范大学2008研]

解：（1）当一端封闭、一端开放时，在封闭端为波节，在开放端为波腹，则管长为：

当乐器的基音频率为时，可知，为第二谐波时，n＝2，，所以

第二谐波的频率为：。

（2）若两端开放，则；第二谐波的频率为：

7．如图21-8所示，已知一平面余弦波振幅，波速，周期，若波源0距反射面B的距离为，，波源的初相位为零，求：

（1）反射波方程。

（2）与原点O相距x的P点处的合成波方程。

（3）与原点相距处C点的振动方程。[南京航空航天大学2007研]

图21-8

解：（1）如图21-8所示坐标，入射波方程为：

设反射波方程为：

在反射面B处有：

解得：

反射波方程为：

（2）合成波方程为：

（3）与原点相距x＝1m处C点的压动方程为：

8．图21-9所示为一平面简谐波在时刻的波形图，求：

（1）该波的波动表达式。

（2）处质点的振动议程。[湖南大学2007研]

图21-9

解：（1）处质点，时有：

所以有：

故波动表达式为：

（2）处质点的振动议程为：

9．已知平面简谐波的方程为，式中A、B和C为正常量，写出此波的波长和波速的表达式，并求出在波的传播方向上相距为d的两点的相位差。[浙江大学2006研]

解：由平面简谐波方程可得：

则

　 

10．一平面简谐波沿x轴正方向传播，波长λ＝4m，周期T＝4s，已知x＝0处质点的振动曲线如图21-10所示。求：（1）原点o的振动方程；（2）波动方程。[电子科技大学2005研]

图21-10

解：（1）原点o的振动方程：　

  （2）波动方程：　 

11．如图21-11所示，音叉与频率为250.0Hz的标准声源同时发音时，产生1.5Hz的拍音。当音叉粘上一小块橡皮泥时，拍频增加了。将该音叉放在盛水的细管口，连续调节水面的高度，当空气柱高度相继为0.34m和1.03m时发生共振。试求：

（1）声波在空气中的速度。

（2）画出空气柱中的驻波图。[南京大学2005研]

图21-11

解：（1）当音叉粘上一小块橡皮泥后，振动变慢，则音叉的频率为：

又空气柱为0.34m和1.03m时发生共振，二者相差半个波长，故：

于是声波波速为：

（2）空气中的驻波示意图如图21-12所示，空气中恰有整数个半波。

图21-12