9.3　名校考研真题详解

一、判断题

1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研]

【答案】错

【解析】举反例：，虽然，但是发散．

1．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研]

【答案】错

【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道

但是发散，所以发散．

二、解答题

1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研]

解：

1．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]

解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于

，故发散．

1．证明：收敛．[东南大学研]

证明：因为，所以

又因为

而收敛，故收敛．

1．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研]

证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而

所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时，

发散．

1．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研]

证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N时，有，则有，故由比较判别法知级数收敛．

1．求．[中山大学2007研]

解：由于，所以绝对收敛．

1．设，且有，证明：收敛．[大连理工大学研]

证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有

，

即

取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且

现在证明．因为，即则

．

所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有

所以存在N，当n＞N时，，则

因此

，

由两边夹法则可得．故由交错级数的Leibniz判别法知收敛．

674．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛[复旦大学研]

解：数列是n的单调递减函数．且

由莱布尼兹判别法，可知收敛．

所以

故当2x＞1，即时收敛，即

绝对收敛；

当2x≤1，即时，发散，即

条件收敛．

671．证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛．[华东师范大学研]

证明：绝对收敛，从而收敛，记

则　

由比较判别法知敛散性相同，而收敛，所以

收敛，即

绝对收敛．

655．证明级数发散到[吉林大学研]

证明：令则

易知发散到所以

又，所以

所以原级数发散到