第四章 不等式和不等式组

一、一元一次不等式（组）及其解法

1．不等式与不等式组

用不等号“＜”或“＞”连接的数学表达式，称为不等式．

不等式有以下性质：

（1）a＞b, b＞c，则a＞c.

（2）a＞b⇔a+c＞b+c.

（3）a＞b, c＞0，则ac＞bc.

（4）a＞b, c＜0，则ac＜bc.

a＞b, ab＞0，则.

（5）a＞b＞0, d＞c＞0，则或ad＞bc.

（6）a＞b＞0，则an＞bn, （n为大于1的整数）.

对于含有未知数的不等式，使其成立的未知数的取值，称为不等式的解．一个不等式的解的全体，称为该不等式的解集．

不等式的解集可用区间表示．由若干含未知数的不等式组成的不等式组的解集，为组成该不等式组的各不等式解集的交集．

2．一元一次不等式（组）及其解法

只含一个未知数，且未知数的最高次数为一次的不等式，称为一元一次不等式．

利用不等式性质，同解变形，可将一元一次不等式化为标准形式ax＞b或ax＜b（a≠0），从而求得不等式的解集．

对于ax＞b，当a＞0时，可得x＞，即x∈(, +∞）；当a＜0时，可得x＜，即x∈

对于ax＜b，可作类似求解．

例1 不等式＞1的解集是

A.x＜-5

B.-5＜x＜0

C.0＜x＜1

D.1＜x

E．无解

解 原不等式等价于

解得x＜-5．故本题应选A.

例2 不等式+＜1-（a＜0）的解集为

A.x＜a-2

B.a-2＜x

C.x＜2-a

D.2-a＜x

E．当a＜-2时，x＞a-2；当0＞a＞-2时，x＜a-2

解 原不等式可化简为

（a+2）x＜a2-4

当a＜-2时，x＞a-2；当0＞a＞-2时，x＜a-2．故本题应选E.

例3（条件充分性判断）.

（1）0＜c＜a＜b（2）0＜a＜b＜c

解 由条件（1）可知c＜a＜b，

考察与b，因为a＞c＞0，故a+b＞c+b，所以.

考察与c，因为b＞a＞0，故b+c＞c+a，所以.

所以条件（1）充分．

条件（2）中，0＜a＜b＜c，则0＜a+b＜a+c＜b+c，从而有0＜.

又0＜a＜b＜c，故有0＜b，所以条件（2）不充分．

综上讨论，本题应选A.

二、一元二次不等式及其解法

（1）只含一个未知数，且未知数的最高次数为二次的不等式，称为一元二次不等式．

利用不等式性质，同解变形，可将一元二次不等式化为标准形式：

ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）

（2）对于标准形式的一元二次不等式可利用一元二次方程ax2+bx+c=0的根或一元二次函数的图象直接求得不等式的解集（如表1—4—1）．或用因式分解法，即将ax2+bx+c分解为两个一次因式的乘积，从而化为一元一次不等式组求解．

设方程ax2+bx+c=0的两根为x1, x2，则有

x1+x2=-,x1x2=

例4 满足不等式（x+4）（x+6）+3＞0的所有实数x的集合是

A.[4, +∞）

B.（4, +∞）

C.（-∞, -2]

D.（-∞, -1）

E.（-∞, +∞）

解 原不等式整理为一元二次不等式x2+10x+27＞0.

考虑到Δ=102-4×27＜0，且x2的系数为1＞0，知不等式对任意实数均成立，因此，不等式的解集为（-∞, +∞）．故本题应选E.

例5 不等式＜8-x的解为

A.x≤-2

B.＜x

C.x＜

D.x≤-2或5≤x＜

E.-2＜x＜5

解 原不等式等价于

由①可得x≤-2或x≤5，由②可得x＜，因此不等式的解为

x≤-2或5≤x＜（如图1—4—1）

用区间表示可记为（-∞, -2）∪．故本题应选D.

注意 求解一元二次不等式时，可由对应的一元二次方程的根直接求出不等式的解以提高解题速度．如本例不等式①.

例6 不等式＜0的解为

A.x≤-1

B.x≥3

C.-1≤x＜3

D.1＜x≤2

E.-1＜x＜1或2＜x＜3

解 原不等式可化为

直接列表（见表1—4—2）.

可得原不等式的解为

-1＜x＜1或2＜x＜3

用区间表示可记为（-1,1）∪（2,3）．故本题应选E.

例7 已知-2x2+5x+c≥0的解为-≤x≤3，则c=

A.3

B.4

C.5

D.6

E.7

解 二次函数f（x）=-2x2+5x+c是开口向下的抛物线，

由已知可得方程f（x）=0的两个根为x1=-,x2=3.

利用一元二次方程根与系数的关系，有

得c=3．故本题应选A.

例8 已知方程x2-2x+lg（a2-2a）=0（a＞0）有一个正根和一个负根，则a的取值范围是

A.0＜a≤2

B.2＜a＜1+

C.a≥1+

D.a≥3

E.3＜a＜3+

解 设f（x）=x2-2x+lg（a2-2a），则f（x）是开口向上的抛物线．由于f（x）=0有一个正根和一个负根，则有f（0）＜0，由此得

解之得1-＜a＜0或2＜a＜1+．因a＞0，则本题应选B.

例9 要使方程3x2+（m-5）x+m2-m-2=0的两个实根分别满足0＜x1＜1和1＜x2＜2，实数m的取值范围是

A.-2＜m＜-1

B.m≤-2

C.m≥-1

D.-1≤m≤1

E.m＞1

解 设f（x）=3x2+（m-5）x+m2-m-2, f（x）是开口向上的抛物线．若f（x）=0的两个根x1, x2满足0＜x1＜1和1＜x2＜2．则必有

解不等式①得m＜-1或m＞2；解不等式②得-2＜m＜2；解不等式③得m＜-1或m＞0.

因此m的取值范围是

-2＜m＜-1.

故本题应选A.

例10 某商场出售一种商品，每天可卖200件，每件可获利润60元．根据市场预测，一件商品每降价20元，则每天可多卖出100件，要获最大利润，每件应降价

A.8元

B.9元

C.10元

D.12元

E.15元

解 设该种商品出售价格为p元/件，进货价格为c元/件，则p-c=60．依题意，设每件商品降价x元，则可多卖出商品×100（件）．于是，利润

=（60-x）（200+5x）

即y=-5x2+100x+12000

=-5（x-10）2+12500≤12500

所以，当x=10时，即每件降10元可获最大利润．故本题应选C.

例11（条件充分性判断）x 2-ax-2a 2＜0的解集为-a＜x＜2a.

（1）0＜a＜1（2）1＜a

解 设f（x）=x2-ax-2a2，这是开口向上的抛物线，求解方程x2-ax-2a2=0，得x=a．于是

由条件（1），有0＜a＜1，不等式有解-a＜x＜2a，因此，条件（1）充分．

由条件（2），有0＜1＜a，不等式有解-a＜x＜2a，即条件（2）也充分．

综上讨论，故本题应选D.

例12（条件充分性判断）（2x2+x+3）（-x2+2x+3）＜0.

（1）x∈[-3, -2]（2）x∈（4,5）

解 设f（x）=2x2+x+3，这是开口向上的抛物线，由于Δ=1-4×2×3=-23＜0，知f（x）＞0，于是由题设（2x2+x+3）（-x2+2x+3）＜0，得

-x2+2x+3=-（x-3）（x+1）＜0，即x＞3或x＜-1.

条件（1）和条件（2）均充分，故本题应选D.

例13（条件充分性判断）函数f（x）=的定义域为全体实数．

（1）k＞0（2）k2＜

解 要使函数f（x）的定义域为全体实数，只要kx2+4kx+3≠0，即

Δ=（4k）2-4×k×3=4k（4k-3）＜0

解得0＜k＜．显然，条件（1）或（2）都不充分，但将两条件合并后，有0＜k＜，条件充分．故本题应选C.

三、绝对值不等式的解法及其应用

（1）含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．

（2）绝对值不等式求解方法和步骤是：

1）先求出各绝对值的零点值；

2）用零点将定义域划分为若干区间，分区间去绝对值，化为一元一次或一元二次不等式的标准形式；

3）求出各分区间不等式的解集；

4）该绝对值不等式的解集即为各分区间解集的并集．

例14 若=0，则a∶b∶c=

A.6∶4∶3

B.2∶3∶4

C.3∶4∶6

D.4∶3∶2

E.6∶3∶4

解 由已知条件可得a=, b=, c=，所以a∶b∶c=6∶4∶3．故本题应选A.

例15 设|x |＜| y|, |z| ＜| y|，则下列结论中必定成立的是

A. |x| - |z| ＜0

B. |x| + |z| ＜ |y|

C. |x|-|z| ＜ |2y|

D. |y| + |z| ＜ |x+y|

E. |x| - |z| ＞0

解 由已知条件，有

|x| + |z| ＜ |y| + |y| = |2y|

又 |x|-|z| ≤ |x| + |z| ＜ |2y|.

故本题应选C.

例16 满足|x+1| ＜ |2x-3|的x的范围是

A.（4, +∞）

D.[4, +∞）

解 由绝对值的定义可知

由①式左边的不等式得

|2x-3|＞-x-1⇔2x-3＞-x-1或2x-3＜x+1

再由①式右边不等式得

x+1＜|2x-3|⇔2x-3＞x+1或2x-3＜-x-1

由①式可知，使得②、③式同时成立的x即为所求，而同时满足②、③式的有下列几种情况：

（1），解得x＞4，

（2），无解，

（3），无解，

（4，解得x＜，

因此满足 |x+1| ＜ |2x-3|的x范围是

x＞4或x＜

故本题应选E.

例17 已知 |x| ≤1, |y| ≤1且z= |x+y| + |y+1| + |x-2y+4|，则z的最大值为

A.7

B.5

C.4

D.3

E.2

解 由 |x| ≤1, |y| ≤1，知-1≤x≤1, -1≤y≤1.

所以

y+1≥0, x-2y+4＞0

于是z= |x+y| +y+1+x-2y+4

= |x+y| +x-y+5.

当x+y≥0时，

z=2x+5，且-1≤x≤1，

所以3≤z≤7.

当x+y＜0时，

z=-2y+5，且-1≤y≤1.

所以3≤z≤7.

综上分析z的最大值为7，故本题应选A.

例18 满足方程 |x4-x2-6| = |x4-4| - |x2+2|的x的取值范围是

解 原方程可化为

|（x2+2）（x2-3) |=|（x2+2）（x2-2）|- |x2+2|.

因为x2+2＞0，方程两边同除以（x2+2），得

|x2-3| = |x2-2| -1.

当0≤x2≤2时，有3-x2=2-x2-1．方程无解．

当2＜x2＜3时，有3-x2=x2-2-1，解得x2=3．与条件矛盾．方程无解．

当x2≥3时，有x2-3=x2-2-1，等式恒成立．于是原方程的解为x≥或x≤-．故本题应选D.

例19（条件充分性判断）设a,b均为实数，则 |a |＞|b|.

（1）a+b＞0（2）a-b＞0

解 单独由条件（1）和（2）都不能得到 |a| ＞ |b|，但（1）和（2）合在一起，条件是充分的．故本题应选C.

例20（条件充分性判断）设x, y均为实数，则可确定3x-2y的值．

（1）x＞y（2）（x-y-1）4+|2x+y+4| =0

解 条件（1）不充分．因为仅由x＞y，求不出3x-2y的值．由条件（2），有

可解得x=-1, y=-2，从而可确定3x-2y的值．因此，条件（2）是充分的．综上讨论，故本题应选B.

练习题

（A）

1．下列各命题中，正确的是

A．如果a＞b，则an＞bn,

B．如果a＞b, c＞d，则a-c＞b-d

C．如果，则a＜b

D．如果a＞b, c＞d，则ac＞bd

E．如果a＞b，则＜

2．不等式2x2+3x-2≥0的解集为

3．不等式＜x+1的解集为

4．不等式-4＜x2-5x+2＜26的解集为

A.（-3,2）

B.[-3,2]∪[3,8]

C.（3,8）

D.（-3,2）∪（3,8）

E.（-∞, -3）∪（3,8）

5．不等式x＜0的解集为

A.（-∞,1]∪（3,4）

B.（-∞,1）∪（3,4）

C.（-∞,1）∪[3,4）

D.（-∞,1）∪（3,4]

E.∅

6．实数x, y满足等式x2-4xy+4y2++-6=0，则x+y的最大值是

7.的解集是

8．设，则x的取值范围是

A.（0, +∞）

B.（0.1,1）∪（100, +∞）

C.（1,100）

D.（-∞,1）

E.（100, +∞）

9．一元二次不等式3x2-4ax+a2＜0（a＜0）的解集是

A.（-∞, a）

B.（ a, ）

C.（, +∞）

D.（ ,0）

E. （,0）∪（-, +∞）

10．关于x的方程kx 2-6x+9=0有两个不等实根，则k的取值范围是

A.k＜1

B.k≠0

C.k＜1且k≠0

D.k＞1

E.k≤1

11．不等式））＜1的解集是

12．若 |a+b =|a| +|b|成立，a,b∈R，则下列各式中必成立的是

A.ab＜0

B.ab≤0

C.ab＞0

D.ab≥0

E.a＞0, b＞0

13．已知 |x| ＜y，则下列各式中一定成立的是

A.-x＜-（y+1）

B.-x＞-（y+1）

C.-x＞-y+1

D.-x＜y-1

E.-x＞-y+2

14．已知 |x| ＜ |y|, |z| ＜ |y|，则下列必成立的是

A. |x| - |z| ＜0

B. |x| + |z| ＜ |y|

C. |x-z| ＜ |2y|

D. |y| + |z| ＜ |x+y|

E. |x| - |z| ＞0

15．满足关系式 |x2-5x| ＜6的x的范围是

A.（-1,2）

B.（3,6）

C.（-1,2）∪（3,6）

D.（2,3）

E.（-∞, -1）∪（6, +∞）

16．若不等式 |x-3| + |2-x| ＜a的解集为空集，则a的取值范围为

A.（1, +∞）

B.（-∞,1]

C.（-∞, -1）

D.（0,1]

E.（-1,1）

17．不等式 ||x+3| - |x-1|| ＞2的解为

A.（-∞, -2）

B.（0, +∞）

C.（-2,0）

D.（-∞, -2）∪（0, +∞）

E.∅

18．不等式+1的解集为

（提示：由已知不等式有+1＞0，即x＞-2．再进一步讨论．）

（B）

1.ab2＜cb2.

（1）实数a, b, c满足a+b+c=0（2）实数a, b, c满足a＜b＜c

2．如果y≠0, y≠-1，则可判断和中哪个大．

（1）x≠0（2）x＞y

3．不等式（1+ |x|）（1+x）＞0成立．

（1）|x| ＜1（2）x＜-1或-1＜x＜1

4．关于x的方程ax2+（2a-1）x+（a-3）=0有两个不等实根．

（1）a＜3（2）a≥1

5．函数f（x）=4的定义域是任意实数．

（1）k＞-2-（2）k＜-2+

6．不等式 |x-2| + |4-x| ＜s无解．

（1）s≤2（2）s＞2

7．实数a,b满足 |a|(a+b）＞a|a+b|.

（1）a＜0（2）b＞-a

8．函数f（x）有最小值2.

（1）f（x）=（2）f（x）= |x-2|+|4-x|

参考答案

（A）

1.C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.C 11.A 12.D 13.B 14.C 15.C 16.B 17.D 18.E

（B）

1.E 2.E 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B