3.3 直线与平面、平面与平面的相对位置
直线与平面、平面与平面的相对位置分别有3种情况，即平行、相交和垂直。
3.3.1 平行问题
直线与平面平行的几何条件：如果平面外一直线和这个平面内的一直线平行，则此直线与该平面平行。反之，如果在一平面内能找出一直线平行于平面外一直线，则此平面与该直线平行。如图3-29a所示，AB平行于P面内的CD，故AB平行于P面。
图3-29 平行问题
两平面互相平行的几何条件是：如果一平面内的相交二直线对应平行于另一平面内的相交二直线，则这两个平面互相平行，如图3-29b所示。图中AB∥DE，BC∥EF，故Q∥R。
[例3-7] 过K点作一正平线KL与△ABC平面平行，如图3-30a所示。
图3-30 过点作直线平行于已知面
解 在空间过已知点K可作无数条与已知平面平行的直线，但其中与V面平行的只有一条。根据直线与平面平行的几何条件，先在△ABC平面内取一条正平线CD，作cd∥OX，得c′d′，再过k′作e′f′∥c′d′，过k作ef∥cd，则EF是平行于△ABC的正平线。图3-30b为作图过程。
[例3-8] 判别已知直线MN是否平行于已知平面△ABC，如图3-31所示。
图3-31 判别直线与平面是否平行
解 如果能在△ABC中找出一直线与MN平行，则MN∥△ABC，否则就不平行。先在△ABC内取CD，令cd∥mn，再求出c′d′，可以看出c′d′不平行于m′n′，因此MN不平行于△ABC。
[例3-9] 过点K作一平面平行于△ABC，如图3-32a所示。
图3-32 过点作平面平行于已知面
解 根据两平面互相平行的几何条件，过点K作一对相交直线分别对应地平行△ABC内的任意一对相交直线，即为所求。为作图简便，过点K作KM∥AC，KN∥BC。在投影图中，先过k′作k′m′∥a′c′、k′n′∥b′c′；再过k作km∥ac、kn∥bc，则由KM和KN相交二直线所确定的平面必平行△ABC，如图3-32b所示。
3.3.2 相交问题
直线与平面相交，必有一个交点，交点是直线与平面的共有点。两平面相交，必有一条交线，交线是两面的共有线，由两平面上的一系列共有点组成。
研究相交问题，即在投影图上确定交点、交线的投影，并判别直线、平面投影的可见性。交点是线面投影后可见性的分界点，交线是面面投影后可见性的分界线。
当相交两几何要素之一与投影面处于特殊位置时，可利用投影的积聚性及交点、交线的共有性，在投影图上确定交点、交线的投影。
[例3-10] 求直线AB与△CDE的交点K，如图3-33所示。
图3-33 求直线与特殊位置平面的交点
解 △CDE是正垂面，正面投影有积聚性。交点K是△CDE和AB的共有点，所以其正面投影必在△CDE和AB正面投影的相交处；其水平投影也应在AB的水平投影上，作图过程如图3-33a所示，K（k′、k）即为所求交点。
水平投影中，ab有一部分被△cde遮挡，需判别其可见性。可依据重影点判别，除k点外，ab与△cde重叠部分均为重影点的投影。可任取其中一对重影点，图中取AB上的Ⅰ点（1′、1）和CD上的Ⅱ点（2′、2），显然Ⅰ点的z坐标大于Ⅱ点的z坐标。因此，对水平投影来说，AK在CD的上方，也就是在△CDE的上方，是可见的。而KB是不可见的，用虚线表示。
[例3-11] 求直线AB与△CDE的交点K，如图3-34所示。
图3-34 求特殊位置直线与平面的交点
解 直线为铅垂线，其水平投影积聚为一点。交点K的水平投影必与该点重合，K也是△CDE内一点，可用平面上取点的方法求其正面投影。
可见性的判别可根据上例类推，在正面投影中取一对重影点Ⅰ、Ⅱ（Ⅰ在CD上，Ⅱ在AB上），结果如图3-34所示。
[例3-12] 求四边形ABCD与△EFG的交线MN，如图3-35所示。
图3-35 一般位置平面与铅垂面相交
解 求两平面的交线，只要求得两个共有点即可。现四边形平面为铅垂面，△EFG的边EF、EG为一般位置直线，求出该两直线与平面的交点，其连线即为两平面的交线。分别由水平投影的m、n确定m′、n′，则MN（m′n′、mn）即为所求。
可见性判别结果如图3-35所示。
3.3.3 垂直问题
垂直问题包括直线与平面垂直、两平面垂直，这里仅研究特殊情况下的线、面垂直和面、面垂直。
[例3-13] 过L点作一直线LK，使LK⊥△ABC平面，如图3-36所示。
图3-36 过点作直线垂直于铅垂面
解 图3-36a为空间状况，由于△ABC为铅垂面，则垂直于该平面的直线LK必为水平线。水平投影中lk⊥abc，正面投影l′k′平行于投影轴。其作图过程如图3-36b所示，过l作lk⊥abc，过l′作l′k′平行于投影轴，由k得k′，则LK（l′k′、lk）即为所求。其中水平投影lk反映空间点L到△ABC的真实距离。
如果已知平面△ABC为正垂面或侧垂面，则其垂线LK是什么位置直线？应如何作图？请读者自行分析。
[例3-14] 过L点作一平面垂直于△ABC平面，如图3-37所示。
图3-37 过点作平面垂直于铅垂面
解 由图3-37a可知，若直线MN垂直P面，则包含MN的任意平面Q、R等都垂直于P面。其投影图如图3-37b所示。由于△ABC为铅垂面，可按[例3-13]的方法过L点作该平面的垂线，再过L点任引一直线，则相交两直线LK与LD所确定的平面即为所求。