附录　极限的ε-N，ε-δ语言

1.极限：由直观到精准

微积分学研究的主要对象是函数，而研究函数最基本的工具是极限.极限的概念和思想是近代数学的一种重要思想.

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代，中国古代数学家刘徽（约225—295年）的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到了极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已经无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围.牛顿和莱布尼兹以无穷小概念为基础建立了微积分.后来因为遇到逻辑困难，所以在他们晚年都不同程度地接受了极限的思想.但牛顿的极限观念是建立在几何直观上的.以数列的极限为例，牛顿的极限观念只是接近于如下直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限.”这种描述性的语言没有定量地给出两个“无限过程”（n→∞和an→A）之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础.

到了19世纪，法国数学家柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）在前人工作的基础上，比较完善地阐述了极限概念及其理论.他指出：“当一个变量逐次所取得的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值.”柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义.但他的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”，“要多小就多小”等，因此还是保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度.

为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓，就是指：“如果对任意给定的ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立.”这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小的关系，此外“给定”，“存在”和“任意”这样的词语，已经摆脱了“趋近”这样的词语，不再借助于运动的直观.这样的定义是严格的，至今仍被广泛使用，并深入到数学的各个领域.

众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究.维尔斯特拉斯建立的关于数列极限的ε-N语言以及后来的关于函数极限的ε-δ语言，即，就是指：“如果对任意给定的ε>0，总存在正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，不等式|f（x）-A|<ε恒成立，则用静态的定义刻画变量的变化趋势，这种“静态—动态—静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律.

2.极限的ε-N，ε-δ定义

（1）数列极限

无穷数列本质就是定义域为自然数集，当自变量取遍所有的自然数，其对应的所有的函数值构成这个无穷数列的值域.而数列极限就是考察无穷数列在自变量为无穷大时的函数值敛散性问题.

定义1　设{an}是一个数列，A为常数.如果对于任何一个给定的正数ε都存在自然数N，当n>N时，均有

an-A<ε

则称数列{an}以A为极限，或{an}收敛于A，记作

如果数列{an}无极限，或称{an}为发散数列，习惯上也称数列{an}的极限不存在.

数列极限的定义可以符号化地简写为：当n>N时，|an-A|<ε成立.这个定义也简称为数列极限的ε-N定义.对于数列极限定义，需要注意以下几点：

①ε的任意性　ε的作用在于衡量an和A的接近程度，ε愈小，表示接近得愈好，这说明an和A能够接近到任何程度.但它一旦给出，就应看作是固定不变的，以便根据它来寻求N.

②N的相应性　一般而言，ε越小，N越大，所以N是依赖于ε的，而且必须是正整数.这里最重要的是N的存在性，最具说服力的存在性证据是能够找到一个N.

③当n>N时，均有|an-A|<ε　这句话是说，凡是下标大于N的所有的an，都满足不等式|an-A|<ε.从几何意义上讲，就是所有下标n大于N的an，都落在A的ε邻域内，而在这邻域之外，至多有N（有限）项.

极限的定义是一个蕴含深刻辩证法的数学概念.在定义里，常量和变量，无限和有限，精确和接近，已知和未知，任意和确定，抽象和具体等得到了完美的和科学的体现.

例1　根据定义证明：

例2　根据定义证明：当|q|<1时，

证明　不妨设q≠0.∀0<ε<1，要使|qn-0|=|q|n<ε，可使nln|q|<lnε<0，即；

取，则当n>N时就有|qn-0|<ε.

依定义，

例3　根据定义证明：

证明　由二项式展开定理有

从而有

∀ε>0，取，则当n>N时，均有.

依定义得　

（2）函数极限

数列极限可以看作定义域为自然数的函数f（n），因此数列极限可以看作特殊的函数极限.当函数f（x）的定义域不仅仅局限于正整数时，就可以探讨随着自变量x的变化，函数值的敛散性.

1）x→∞时函数的极限

数列极限对定义在自然数集的函数f（n）当自变量无限增大时的极限过程作了精确的描述.这个定义可推广至定义域为无穷区间的连续变量函数f（x）当x→∞时极限的情形.

定义2　设函数f（x）在|x|充分大时有定义，A是一个常数.如果对于任何一个给定的正数ε，都存在正数X，当|x|>X时就有|f（x）-A|<ε，则称当x→∞时，f（x）以A为极限，记作

若把x>0（<0）且x→∞写成x→+∞（-∞），并在定义2中把|x|改为x（-x），就得到x→+∞（-∞）时函数f（x）以A为极限的定义，记作.函数极限的定义可简写为：，∃X>0，当|x|>X时，均成立|f（x）-A|<ε.

例4　根据极限定义证明：

依定义得　

（2）∀ε>0（不妨设ε<1），要使|ex-0|=ex<ε，即x<lnε<0.

取X=-lnε>0，则当-x>X时，|ex-0|<ε.

依定义得　.

2）x→x0时函数的极限

这里指的是当自变量x无限接近定点x0（记作x→x0）时函数f（x）的极限情形.此时的极限仅与f（x）在点x0的某个邻域N（x0，r）里的取值相关，而与它在点x0这一点的取值情况无关.

定义3　设函数f（x）在点x0的某个邻域N（x0，r）内有定义，A是一个常数.如果对于任何一个给定的正数ε，都存在正数δ，当0<|x-x0|<δ时，均有|f（x）-A|<ε，则称当x→x0时，f（x）以A为极限.记作

定义3可简写为：∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，均有|f（x）-A|<ε.

从几何上看，的含义为：对任给的ε>0，无论多么小，都存在δ>0，当x∈N（x0，δ）时，函数y=f（x）的图形位于以点（x0，A）为中心且宽为2δ、高为2ε的矩形区域中（见图2-12）.

众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究.维尔斯特拉斯建立的关于数列极限的ε-N语言以及后来的关于函数极限的ε-δ语言，即，就是指：“如果对任意给定的ε>0，总存在正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，不等式|f（x）-A|<ε恒成立，则用静态的定义刻画变量的变化趋势，这种“静态—动态—静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律.

例5　用定义证明：

证明　∀ε>0，要使|（2x-1）-3|=2|x-2|<ε，可使|x-2|<ε/2.取δ=ε/2，则当0<|x-2|<δ时就有|（2x-1）-3|<ε.

依定义得　.

例6　用定义证明：

证明　∀ε>0，

取δ=ε，则当0<|x-x0|<δ时就有|sinx-sinx0|<ε

依定义得　

例7　用定义证明：

证明　不妨设a≠1.∀ε>0（限制ε<1），要使|ax-1|<ε，即1-ε<ax<1+ε成立，只要loga（1-ε）<x<loga（1+ε）.

所以　|loga（1+ε）|<|loga（1-ε）|，

所以，当|x|<loga（1+ε）时，loga（1-ε）<x<loga（1+ε）成立.

取δ=loga（1+ε），当0<|x|<δ时，均有|ax-1|<ε.

依定义得　

例8　用定义证明

从而有

∀ε>0，取，则当0<|x-1|<δ时就有

依定义得　

例9　设（n=1，2，…），且x1>0，a>0.证明数列{xn}极限存在，并求

解　因为　x1>0，a>0，所以xn>0.

故{xn}有下界.

所以，{xn}单调递减.

因此该数列单调递减有下界，由于单调有界的数列一定收敛，故极限存在，设该数列收敛于A，递推公式等式左右同时取极限有

又x1>0，从而xn>0，故A=.

解　由于

根据夹逼准则得到