2.2　导数的运算

根据导数的定义，求函数y=f（x）的导数f′（x）可分为三步：

（1）求增量Δy=f（x+Δx）-f（x）.

（2）算比值Δy与自变量的增量Δx的比：

这个比值称为函数的平均变化率，又称差商.

若此极限存在，则此极限值就是函数f（x）的导数f′（x）.

下面我们根据导数的定义，求几个基本初等函数的导数.

2.2.1　一些基本初等函数的导数

1.常量的导数

设函数y=c，因对任何x，有y≡c，显然Δy=0，所以，即

（c）′=0

2.幂函数的导数

设函数y=xn（n为正整数），给x以增量Δx，由二项式展开定理有：

即　　（xn）′=nxn-1

当n=1时，上式为　　x′=1

即自变量对其自身的导数等于1.

更一般地，对于幂函数y=xa（a为任意实数），有

（xa）′=axa-1

这就是幂函数的导数公式，此公式的证明将在后面讨论.

3.对数函数的导数

设函数y=logax（a>0且a≠1）.

给自变量x以增量Δx，则

特别对于a=e，则有　　

4.正弦函数和余弦函数的导数

设函数y=sin x，给自变量x以增量Δx，则Δy=sin（x+Δx）-sin x，由三角函数的和差化积公式，有

即　　（sin x）′=cos x

同理可证　　（cos x）′=-sin x

2.2.2　函数四则运算的求导法则

设函数u=u（x），v=v（x）在x点处可导，即u′=u′（x）及v′=v′（x）.

法则1　两个函数的代数和的导数

（u±v）′=u′±v′

证明　设y=u±v.给自变量x以增量Δx，函数y，u，v的增量依次为Δy，Δu，Δv有

Δu=u（x+Δx）-u（x）Δv=v（x+Δx）-v（x）

Δy=[u（x+Δx）±v（x+Δx）]-[u（x）±v（x）]

=[u（x+Δx）-u（x）]±[v（x+Δx）-v（x）]=Δu±Δv

即　　（u±v）′=u′±v′

此法则可推广到有限个函数代数和的导数情形，例如（u+v-w）′=u′+v′-w′.

例1　已知函数，求y′.

法则2　两个函数乘积的导数

（u·v）′=u′v+uv′

证明　设函数y=uv，类同法则1有

Δy=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x）v（x）

=u（x+Δx）v（x+Δx）-u（x+Δx）v（x）+u（x+Δx）v（x）-u（x）v（x）

=u（x+Δx）[v（x+Δx）-v（x）]+v（x）[u（x+Δx）-u（x）]

=u（x+Δx）Δv+v（x）Δu

已知函数u（x），v（x）在x点处可导，则u（x）在x点处连续，故有

即　　（uv）′=u′v+uv′

推论1　　（cu）′=cu′

推论2　　（uvw）′=u′vw+uv′w+uvw′

乘积的法则也可推广到任意有限个函数之积的情形.

例2　已知y=ln x（sin x+cos x），求y′.

法则3　两个函数商的导数

推论3　

例3　已知函数y=tan x，求y′.

例4　已知函数y=sec x，求y′.

即　　（sec x）′=tan x·sec x

同理可求　　（cscx）′=-cotx·cscx

2.2.3　复合函数的求导法则

法则4　（链式法则）设函数u=φ（x）在x点处可导，而函数y=f（u）在x点的对应点u（u=φ（x））处可导，则复合函数y=f（φ（x））在x点处可导，且其导数为

f′（φ（x））=f′（u）φ′（x）　　（2.2）

证明　设x有增量Δx，则相应的函数u有增量Δu，函数y有增量Δy，因为

由于u=φ（x）在x点可导，当然在x点连续，故当Δx→0时，有Δu→0.

此法则可以推广到多个中间变量的情形.我们以两个中间变量为例，设y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x）.则

故复合函数y=f（φ（ψ（x）））的导数为

例5　已知函数y=sinln x2，求y′.

解　令y=sinu，u=lnv，v=x2，则有

例6　已知函数y=sin8x，求y′.

解　令y=sinu，u=8x，则，

对复合函数的分解比较熟练后，就不必再写出中间变量。

例7　已知函数，求y′.

2.2.4　反函数的求导法则

为了讨论指数函数（对数函数的反函数）与反三角函数（三角函数的反函数）的导数，下面先研究反函数（inverse function）的求导法则.

法则5　如果函数y=f（x）在某区间Ix内单调、可导，且导数不等于零，则它的反函数x=φ（y）在对应区间Iy={y｜y=f（x），x∈Ix}上可导，且

此定理说明：一个函数的反函数的导数等于这个函数的导数的倒数.

证明　设函数y=f（x）的反函数x=φ（y）在y点有增量Δy，且Δy≠0，有

Δx=φ（y+Δy）-φ（y）；Δy=f（x+Δx）-f（x）

当Δy→0时，有Δx→0；当Δy≠0时，有Δx≠0，则

例8　求指数函数y=ax（a>0，a≠1）的导数.

解　已知y=ax是x=logay的反函数，由

即　　（ax）′=axlna

特别地，当a=e时，有

（ex）′=ex

例9　求反三角函数的导数.

用类似方法可得

例10　求幂函数y=xα（α为实数，x>0）的导数.

解　由于y=eαln x，故

即　　（xα）′=αxα-1

2.2.5　隐函数的求导法则

前面，我们讨论的求导运算都是针对函数y能明确写成自变量x的解析式y=f（x），这样的函数，我们称为显函数（explicit function）.但有时遇到两个自变量x，y间的函数关系是由方程F（x，y）=0所确定的，这样的函数，称为隐函数（imlicit function）.

例如，x2+y2=1和exy-xy=0都确定了x和y之间的某种函数关系.

求隐函数的导数并不需要将y从方程F（x，y）=0中解出来，亦不需要引进新的法则，只要对方程F（x，y）=0的两边分别对x求导，便得到所求函数的导数.求导时注意y是x的函数，利用复合函数求导法则，便能得到所求函数的导数.

例11　求由方程y3+3y-x-2x5=0所确定的函数y对x的导数.

解　方程两边对x求导

例12　求由方程ey=x2y+ex所确定的隐函数y的导数y′和y′｜x=0.

解　方程两边同时对x求导，得

ey·y′=2xy+x2y′+ex

当x=0时，由ey=x2y+ex得y=0，代入上式得y′｜x=0=1.

2.2.6　对数求导法

将函数的表达式两边取自然对数，并利用对数性质将表达式化简，然后应用复合函数的求导法则，将等式两边对自变量求导，最后得出函数的导数，这种方法叫做对数求导法.下面通过两个例子说明这种方法.

例13　已知函数，求y′.

解　将等式两边取对数，得

对x求导，得

例14　已知函数y=xsin x，求y′.

解　两边取对数，化为隐式，得

ln y=sin x·ln x

两边对x求导，得

*2.2.7　由参数方程所确定的函数导数

当函数由参数方程

确定时，在不消去参数t的情况下，可以方便地求出y对x的导数 ，过程如下：分别求出y对t的导数 ，及x对t的导数 ，即得y对x的导数

例15　求由参数方程所确定的函数的导数

故

为了便于查阅，我们列出基本初等函数的导数公式

1.（c）′=0（c为常数）.　　2.（xα）′=αxα-1（α为实数）.

5.（ax）′=axlna.　　6.（ex）′=ex.

7.（sin x）′=cos x.　　8.（cos x）′=-sin x.

11.（sec x）′=tan x·sec x.　　12.（cscx）′=-cotx·cscx.

2.2.8　高阶导数

函数y=f（x）的导数f′（x）仍然是x的函数，我们可以继续讨论f′（x）的导数.如果f′（x）仍然可导，它的导数就称为函数y=f（x）的二阶导数（second derivative），记为

依此类推，如果函数y=f（x）的n-1阶导数的导数存在，它的导数就叫作函数y=f（x）的n阶导数（n-th derivative），记为

函数y=f（x）在x点具有n阶导数，则f（x）在x点的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.

二阶以及二阶以上的导数，统称为高阶导数（higher derivative）.

如物体的运动规律（函数）是s=s（t），则s（t）的导数是物体t时刻的瞬时速度v（t），即v（t）=s′（t）.加速度等于速度v（t）在t时刻的导数，即加速度为s（t）的二阶导数α=s″（t）.这就是二阶导数的物理意义.

显然，求一函数的n阶导数，只需对函数进行n次求导.因此，求高阶导数无需新的方法.

例16　求的二阶导数.

例17　求y=ax的n阶导数.

解　　y′=axlna

y″=ax（lna）2

…

y（n）=ax（lna）n

即　　（ax）（n）=ax（lna）n

显然　　（ex）（n）=ex

例18　求y=sin x的n阶导数.

同理可得