6.3 向量的数量积及其运算法则
本节重点知识：
1.向量的数量积.
2.向量数量积的坐标运算.
6.3.1 向量的数量积
在物理学中，一个物体在力
的作用下，产生位移
，若
与
之间的夹角为θ，则
所作的功W是
这里功W是一个数量，它由向量
和
的模及其夹角余弦的乘积来确定.像这样由两个向量的模及其夹角余弦的乘积确定一个数量的情况，在其他一些问题中也会遇到，如物理学中的功率
等.
若将两个非零向量
，
，设为
则把射线OA与射线OB所组成的不大于π的角称做
与
的夹角，记做
显然
在数学中，我们将两个非零向量
的模与它们的夹角θ的余弦的乘积定义为
与
的数量积（又称做内积），记做
其中θ表示
从而
也可以表示成
注意 两个向量数量积的结果是一个实数，可能是正数，可能是负数，也可能是零.
想一想
如果 
是两个非零向量，那么在什么条件下有以下结论：
练一练
（1）如果 
，那么 
_________；
（2）如果 
，那么 
_________.
例1 根据下列条件分别求出
解 （1）因为
将已知条件代入，得
所以
又因为
所以
（2）因为
将已知条件代入，得
所以
又因为
所以
向量的数量积运算满足交换律和分配律，即
但它不满足结合律，即
当实数与向量相乘时，满足结合律，即
例2 已知
计算：
练习
1.已知
分别是平面直角坐标系中x轴和y轴上的单位向量，分别计算：
2.根据下列条件，求
：
3.已知
求
4.已知
计算：
6.3.2 向量数量积的坐标运算
设向量
的坐标为（x1，y1），即
向量
的坐标为（x2，y2）即
则
所以
就是说，在直角坐标系中，两个向量的数量积等于它们的横坐标之积与纵坐标之积的和.
例1 已知
求
当两个向量垂直时，夹角为
，此时有
反之，若非零向量
的数量积为0，即
则必然有cosθ=0，即
故有
如果
则有
例2 判断下列各题中的向量
与
是否垂直：
所以 
与
不垂直.
如果
那么
所以 
就是说，利用向量坐标，我们可以计算出它的模.
练一练
算出下列各向量的模：
（1）若 
，则 
（2）若 
则 
（3）若 
则 
如果点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2）
于是向量
的模
由于
的模就是点A和点B的距离，所以我们得到平面上两点间的距离公式
例3 已知A（8，-1），B（2，7），求
.
例4 已知点A（-3，-7），B（-1，-1），C（2，-2），求证：△ABC是直角三角形.
分析 可以通过判断某两边互相垂直，证得△ABC是直角三角形；也可以利用勾股定理的逆定理证得结论.
证法1：根据已知，得
即∠ABC=90°.所以△ABC是直角三角形.
证法2：根据已知，得
即 CA2=AB2+BC2.所以△ABC是直角三角形.
练习
1.求
的值，当：
2.已知M（6，4），N（1，-8），求
3.已知A（-4，7），B（5，-5），求