13.5　微分

本节重点知识：

1.微分的概念.

2.微分的运算.

13.5.1　微分的概念

微分概念的引入来自于计算函数改变量的估值，在实际问题中，经常要计算当自变量有一微小改变量Δx时，相应的函数的改变量Δy的大小.如果函数比较复杂，计算函数的改变量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

也会很复杂.能否找到一种既简单，又有较高精确度的计算Δy近似值的方法，就是本节要讨论的微分.

微分和导数本质上是一致的.利用微分可估算函数的改变量，计算函数的近似值，微分的概念在后继内容（不定积分、常微分方程）中都有重要的应用，应熟练掌握.

引例　一正方形的金属薄片受温度影响，其边长由x0变化到x0+Δx，其面积A（x）=x2相应的改变量为

分析　如图13-2所示，阴影部分表示ΔA.它由两部分组成：第一部分2x0·Δx，它是Δx的一次函数；第二部分（Δx）2，当|Δx|很小时，它也非常小，可以忽略不计.所以我们可以用第一部分2x0·Δx近似地表示ΔA，即ΔA≈2x0·Δx.由于A（x）=x2，则A′（x0）=2x0.故上式又可以写成ΔA≈A′（x0）Δx.

一般地，当|Δx|很小时，函数的改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也可以近似地用f′（x0）Δx表示，误差非常小，即Δy≈f′（x0）Δx.我们就把f′（x0）Δx称做函数y=f（x）在点x0处的微分.

定义　设函数y=f（x）在点x0处可导，则称f′（x0）Δx是函数y=f（x）在点x0处的微分，记作，即.此时，也称函数y=f（x）在点x0处可微.

例如，函数y=sin x在点处的微分为

函数y=f（x）在任意点x处的微分，称做函数y=f（x）的微分，记作dy=f′（x）Δx.

对于函数y=x，它的微分dy=dx=（x）′Δx=Δx.因此，我们规定：自变量的微分dx就等于自变量的改变量Δx，即dx=Δx.于是，函数y=f（x）的微分又可写成dy=f′（x）dx.从而，即函数的导数f′（x）等于函数的微分与自变量的微分之商，故导数又称为微商.

注意

导数与微分的概念虽有本质区别，但可导与可微是等价的.

例1　求函数y=x2sin x的微分.

解　dy=（x2sin x）′dx=x（2sin x+xcos x）dx.

一般地，当|Δx|很小时，Δy≈dy，在实际中往往用函数的微分来求函数改变量的近似值.

13.5.2　微分的运算

根据微分的定义dy=f′（x）dx，计算微分只需求出导数f′（x）再乘以dx即可，于是根据导数的基本公式和运算法则可直接得出微分的基本公式和运算法则.

1.微分的基本公式

（1）d（c）=0（c为常数）；　　（2）d（xα）=αxα-1dx（α∈R）；

（3）d（ax）=axlnadx；　　（4）d（ex）=exdx；

（7）d（sin x）=cos xdx；　　（8）d（cos x）=-sin xdx；

（9）d（tan x）=sec2xdx；　（10）d（cotx）=-csc2xdx；

（11）d（secx）=secxtan xdx；　（12）d（cscx）=-cscxcotxdx；

2.微分的四则运算法则

设u，v都是可导函数，则

（1）d（u±v）=du±dv；　　（2）d（uv）=vdu+udv；

（3）d（cu）=cdu（c为常数）；　　（4）；

（5）（c为常数）.

3.微分形式的不变性　（复合函数的微分法则）

设函数y=f（u）的导数f′（u）存在，且

（1）若u是自变量时，其微分为dy=f′（u）du.

（2）若u不是自变量时，而是另一自变量x的可导函数u=φ（x），则y就是以u为中间变量的复合函数，根据复合函数的求导法则，y对自变量x的导数为

y′=f′（u）·φ′（x），

于是其微分为

dy=f′（u）·φ′（x）dx，

而　　du=φ′（x）dx，

所以　　dy=f′（u）du.

这就是说，无论u是自变量还是中间变量，函数y=f（u）的微分形式总是dy=f′（u）du.这个性质就称做微分形式的不变性.

由此可知，基本初等函数的微分公式，其意义可以推广，例如d（sin u）=cos udu，d（eu）=eudu等.这里，u不仅可以是自变量，也可以是一个函数.这对于求复合函数的微分，十分方便.

例2　求下列函数的微分：

（1）；　　（2）y=e-xsin 2x；　　（3）.

（2）dy=sin 2xd（e-x）+e-xd（sin 2x）

　=e-xsin 2xd（-x）+e-xcos 2xd（2x）

　=-e-x（sin 2x-2cos 2x）dx.