1.5 条件概率

1.5.1 条件概率的概念

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息（条件）下求事件的概率. 如在事件A发生的条件下，求事件B发生的概率，记作P（B|A）.

例1.19　将一枚硬币抛掷两次，设事件A为“至少有一次正面”，事件B为“两次掷出同一面”，现在求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.

解　S={HH，TT，HT，TH}，A={HH，HT，TH}，B={HH，TT}

在A发生的条件下，试验所有可能结果所成的集合就是A，而不再是S.

A中共有3个元素，其中只有HH∈B.

于是在A发生的条件下B发生的概率为

以上公式不仅对古典概型有效，对所有概率模型都有效，于是我们有以下定义.

定义1.6　设A，B是两个事件，且P（A）>0，则称

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 相应地，把P（B）称为无条件概率.

注：（1）用文氏图表达式（1.17）. 若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB.因已知A已发生，故A成为计算条件概率P（B|A）新的样本空间，称为缩减的样本空间.

（2）计算条件概率有两种方法：①在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P（B|A）；②在样本空间S中，先求P（AB）和P（A），再按定义计算P（B|A）.

例1.20　一盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中不放回地抽取两只产品，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的也是一等品”，试求条件概率P（B|A）.

解一　S中所含样本点个数：；A中所含样本点个数：；AB即是第一次取到的是一等品而且第二次取到的也是一等品，简单地说就是两次取到的都是一等品，则AB中所有样本点个数为；因此

解二　设一等品编号为1，2，3，二等品记为b，则缩减的样本空间为

A={（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），（1，b），（2，b），（3，b）}

所以

例1.21　一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回），

（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；

（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率.

解　记Ai为事件“第i次取到的是黑球”（i=1，2）.

（1）在已知A1发生，即第一次取到的是黑球的条件下，第二次取球就在剩下的9个球中任取一个，根据古典概率计算，取到黑球的概率为2/9，即有P（A2|A1）=2/9.

（2）在已知A2发生，即第二次取到的是黑球的条件下，求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球发生在第二次取球之前，故问题的结果不像（1）那么直观.

按定义计算P（A1|A2）更方便一些.

由得

定理1.1　条件概率符合概率定义的三个基本条件：

（1）非负性：P（B|A）≥0；（1.18）

（2）规范性：P（S|A）=1；（1.19）

（3）可列可加性：若B1，B2，…互不相容，则

条件概率满足前面证明过的所有概率性质.

例1.22　设某种动物由出生算起，活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4. 如果现在有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？

解　设A=“这种动物能活到20岁以上”

B=“这种动物能活到25岁以上”

由已知　P（A）=0.8，P（AB）=P（B）=0.4

从而　

1.5.2 乘法公式

由条件概率的定义，可得下述定理

定理1.2

注意到AB=BA及A，B的对称性，可得到

（1.21）和（1.22）式都称为乘法公式，利用它们可计算两个事件同时发生的概率. 若A，B，C为三个事件，且P（AB）>0，

一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，且P（A1A2…An-1）>0，则有

例1.23　一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.

解　这一概率，我们前面在古典概型中已计算过，这里我们用一种新的方法来计算. 将事件“第二次取到的是黑球”根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分，分别计算其概率，再求和. 记A，B为事件“第一、二次取到的是黑球”，则有

由题设易知

于是

例1.24　设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.

解　以Ai（i=1，2，3）表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”. 则，故有

1.5.3 全概率公式和贝叶斯公式

定义1.7　设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若

（1）BiBj=ø，i≠j，i，j=1，2，…，n；

（2）B1∪B2∪…∪Bn=S.

则称B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分（或一个完备事件组）.

由划分定义可知，对于每次试验，事件B1，B2，…，Bn必有且仅有一个发生.

定理1.3　设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则

上式称为全概率公式.

定理1.4　设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则

上式称为贝叶斯公式.

注：全概率公式可用于计算较复杂事件的概率，公式指出：在复杂情况下直接计算P（A）不易时，可根据具体情况构造一组完备事件{Bi}，使事件A发生的概率是各事件Bi（i=1，2，…）发生条件下引起事件A发生的概率的总和. 贝叶斯公式中，P（Bi）和P（Bi|A）分别称为原因的先验概率和后验概率. P（Bi）（i=1，2，…）是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下诸事件发生的概率. 当获得新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生的概率P（Bi|A）有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. 特别地，若取n=2，并记B1=B，，于是公式成为

例1.25　箱中有甲、乙、丙三个工厂生产的同型号的灯泡，已知甲厂的占一半，乙、丙两厂数量相等，次品率分别为0.1，0.2，0.3，今从箱中任取一个灯泡，（1）求所取灯泡为次品的概率；（2）若所取灯泡为次品，求它是乙厂生产的概率.

解　设A=“任取一灯泡为次品”，Bi=“任取一灯泡为第i厂生产”（i=甲，乙，丙，），则

A=B1A+B2A+B3A

例1.26　甲箱中有3件一等品，2件二等品；乙箱中有4件一等品，4件二等品，今从甲箱中任取两件放入乙箱，再从乙箱中任取1件，（1）求从乙箱中取出的是一等品的概率；（2）若从乙箱中取出的是一等品，求从甲箱中取出的是1件一等品1件二等品的概率.

解　设A=“从乙箱中取出的是一等品”，Bi=“从甲箱中取出的恰有i件一等品”（i=0，1，2），则

A=AB0+AB1+AB2

例1.27　8支步枪中有5支已校准过，3支未校准. 一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3. 现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，求所用的枪是校准过的概率.

解　设B=“使用的枪校准过”，=“使用的枪未校准”，A=“射击时中靶”，则B，是S的一个划分，且

由贝叶斯公式，得