第二节　二次根式的运算及化简求值

学习目标

1. 会进行二次根式的化简.

2. 会进行二次根式的简单四则运算及化简求值.

知识精讲

1. 二次根式的加减.

（1）实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（被开方数相同的二次根式）.

（2）步骤.

一化：将每个二次根式化为最简二次根式.

二找：找出被开方数相同的二次根式，二次根式前面的系数如果是带分数，要化为假分数.

三合并：合并被开方数相同的二次根式，如果被开方数不相同，则一定不要合并，应将它们作为结果的一部分.

2. 二次根式的乘法：（a≥0, b≥0）. 即两个二次根式相乘，将被开方数相乘，根指数不变.

注：① 逆用二次根式乘法的法则（（a≥0, b≥0））, 可以进行二次根式的化简和运算.

② 二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘，例如：

③ 在进行二次根式的运算时，要将能开得尽方的数开方.

④ 二次根式相乘，如果根号前有系数，就把各个系数相乘，结果仍作为二次根号前的系数.

⑤ 乘法公式仍然适用二次根式的运算：.

⑥ 充分利用（a≥0, b≥0）, 进行适当的变形.

3. 二次根式的除法：（a≥0, b>0），即两个二次根式相除，将被开方数相除，根指数不变.

注：逆用二次根式除法的法则，可以进行二次根式的化简和运算.

4. 二次根式乘除法的运算步骤.

（1）含有系数的二次根式相乘除，把它们的系数相乘除，作为它们的积或商的二次根式的系数；被开方数相乘除，根指数不变.

（2）注意运算顺序和符号.

（3）结果要化成最简二次根式.

5. 分母有理化. 把分母中的根号化去，这种变形叫作分母有理化.

注：常用形式及方法如下.

方法提炼

1. 利用“三巧”化简二次根式.

（1）巧用分配律：利用分配律可以使二次根式的运算变得更简单.

（2）巧用逆运算：逆用二次根式乘除法的运算法则化简二次根式，也可以使复杂运算简单化.

（3）巧变形：有条件的二次根式的化简，一般先将已知条件化简. 化去分母中的根号、因式分解等都是二次根式化简的基础.

2. 二次根式的化简求值的方法.

（1）直接代入：直接将已知条件代入求值.

（2）变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值.

典例精析

例题1. 计算：

【思路点拨】 合理地应用二次根式的加减乘除法则进行运算，注意乘法公式、运算律和约分的应用.

【解】

例题2. 计算：.

【思路点拨】 先进行分母有理化，然后再计算.

【解】原式=.

典题精练

1. 化简二次根式的结果是（　）.

2. 化简得（　）.

3. 估计的运算结果应在（　）.

A. 0到1之间

B. 1到2之间

C. 2到3之间

D. 3到4之间

4. 已知，则a与b的关系是（　）.

A. a=b

B. ab=1

C. a=-b

D. a·b=-1

5. 若矩形长为cm，宽为cm，则此矩形的面积为 ____.

6. 已知，则=____.

7. 8-的整数部分和小数部分分别为x、y，则2xy-y2=____.

8. 已知x=1-，y=1+，求x2+y2-xy-2x+2y的值.

9. 已知，求的值.

10. 计算：

中考真题链接

真题1. （江苏徐州）下列运算中错误的是（　）.

真题2. （湖北孝感）下列二次根式中，不能与 合并的是（　）.