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2.1 摄像机成像过程
针孔(Pinhole)模型是一种理想的摄像机成像模型,早在公元前4世纪,我国就做过针孔成像的实验,并对其进行了分析和解释。《墨经》中提到:“景到,在午有端,舆景长,说在端。”这里说的是小孔成像最后形成的是倒像,成像的大小与位置无关。欧洲16世纪文艺复兴时期,很多宫廷画家也通过小孔成像原理进行绘画。原始的针孔成像过程如图2.1所示。在针孔模型下,图像的成像过程涉及的坐标系[77-81]有像素坐标系(Pixel Coordinate System)、成像平面坐标系(Retinal Coordinate System)、摄像机坐标系(Camera Coordinate System)和世界坐标系(World Coordinate System)。
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图2.1 原始的针孔成像过程
2.1.1 像素坐标系
由摄像机采集的图像存储在计算机中是以像素(Pixel)为单位的,因此,在计算机中,图像常作为一个数组进行存储,数组中的每个值为图像的灰度值(若采集的图像为黑白图像,则用一个具体的灰度值表示;若采集的图像为彩色图像,则用红、绿、蓝3种颜色的强度进行表示)。以像素作为单位的坐标系称为像素坐标系,具体可以表示为u-v坐标系统,图像上的点可以用齐次坐标表示为(u,v,1)T,如图2.2所示,O为图像坐标系的原点。
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图2.2 像素坐标系
2.1.2 成像平面坐标系
像素坐标系只表示图像中像素所在的行数和列数,并没有通过具体的物理单位(如毫米)表示出该像素在图像中的物理位置。因此,像素坐标系中的像素坐标需要转换为以物理单位(如以毫米为单位)进行表示的成像平面坐标系。成像平面坐标系可以表示为x-y坐标系统,图像上的点可以用齐次坐标表示为(x,y,1)T,如图2.3所示。
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图2.3 成像平面坐标系
成像平面坐标系为x-y坐标系,原点O1为摄像机光轴与图像平面的交点,称为主点(Principal Point)。若成像平面坐标系原点O1在像素坐标系下的坐标为(u0,v0),像素坐标系的每个像素在x轴和y轴上的物理尺寸分别为dx、dy,则像素坐标系上任意点(u,v,1)T与成像平面坐标系上的对应点(x,y,1)T之间存在以下转换关系。
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2.1.3 摄像机坐标系
基于成像平面坐标系,以摄像机光心为原点的摄像机坐标系,如图2.4所示。
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图2.4 摄像机坐标系
在图2.4中,C点为摄像机光心,定义为摄像机坐标系的原点,光轴为摄像机坐标系下的z轴,光心与图像平面I的距离为摄像机焦距f;图像平面为平面I,A为图像平面I上的一点,B为对应的空间点。根据针孔成像原理,B点和C点的连线与图像平面I的交点为A点,即在理想情况下,B点与C点和A点在同一直线上。设A点的坐标为(x,y,1)T,B点的坐标为(xC,yC,zC,1)T。因此,摄像机坐标系与成像平面坐标系之间存在以下关系。
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采用齐次坐标,式(2-2)可以表示为
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式(2-3)描述了成像平面坐标系与摄像机坐标系之间的转换关系。其中,符号“≈”表示在相差一个常数因子意义下的相等。
2.1.4 世界坐标系
由于被测物体一般定义在自身的坐标系下,即物体坐标系或世界坐标系,因此,要描述成像过程,需要建立世界坐标系与摄像机坐标系之间的关系。
如图2.5所示,世界坐标系原点为W,摄像机坐标系经过旋转和平移转换为世界坐标系。设R为旋转矩阵,T为平移向量,摄像机坐标系下任意点的坐标为(xC,yC,zC,1)T,世界坐标系下对应点的坐标为(xW,yW,zW,1)T,则空间点在摄像机坐标系与世界坐标系下的坐标可以通过下式转化。
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图2.5 世界坐标系
从上面4个坐标系之间的转化关系可以看出,从世界坐标系到像素坐标系之间的转化关系为
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式中,K为摄像机的内参数矩阵,R、T为摄像机的外参数矩阵。鉴于目前CCD相机的加工技术一般都能保证像素坐标系的u轴和v轴相互垂直,即内参数没有扭曲因子(Skew Factor),其中扭曲因子用s表示。若考虑扭曲因子s,则内参数矩阵可以表示为
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在考虑扭曲因子的情况下,世界坐标系到像素坐标系之间的转化关系(物体的成像模型)为
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从式(2-7)中可以看出,世界坐标系中的任意点(xW,yW,zW,1)T一定有一个对应的图像点(u,v,1)T。已知一个图像点(u,v,1)T,即使知道了摄像机的内外参数,在没有其他信息时,也无法确定对应的空间点(xW,yW,zW,1)T。原则上来说,已知一个图像点(u,v,1)T,在内外参数已知的条件下,仅能确定该图像点对应的投影直线。求摄像机参数的过程称为摄像机标定。