2.1　函数

2.1.1　函数的概念

函数作为微积分的研究对象，在人工智能中扮演着重要的角色。在18—19世纪，欧拉、柯西等很多数学家都对函数给出了自己的定义，但由于认识的局限性，这些定义都存在一些问题。康托创立的集合论在数学中占有非常重要的地位，而函数的现代定义也是通过集合给出的。通过中学阶段的学习可知，函数是一种特殊的映射运算，它反映了从一个集合到另一个集合的一种对应关系[1]。

1．函数的定义

在给出函数定义之前，需要先了解以下几个基本概念。

定义2-1　变量和常量　在某个变化过程中，那些可以发生变化的量，也就是可以取不同数值的量称为变量（数学中常记为y等）；在某个变化过程中，数值不变的量，称为常量。

定义2-2　区间　对于连续变化的变量，其变化的范围称为区间（区间本质为集合）。如果变化范围有限（两端边界为实数），则该区间称为有限区间；否则，称为无限区间。

例2-1　对于有限闭区间，可用形式来表示；对于有限开区间，可用形式来表示；对于无限开区间，可用形式来表示。

定义2-3　邻域　设与是两个实数，且，将满足不等式的实数的全体，称为点的邻域，记为，此时，点称为该邻域的中心，称为该邻域的半径，在不需要指明半径时，邻域一般可记为。

说明：在邻域定义中，不等式可用不等式来代替（），从而得出满足不等式的实数的全体就是开区间，所以，点的邻域是以点为中心、长度为的开区间。

下面给出函数的定义。

定义2-4　设是一个非空数集，是一个确定的法则，如果，通过法则，存在唯一的与相对应，则称由确定了一个定义在上、取值为的函数，记作，，其中，称为自变量，称为因变量，称为函数关系。

定义2-5　在函数建立的两个变量和的关系中，是自变量，称为函数的定义域，定义域表示自变量的变化范围；是因变量，它随的变化及对应关系而变化。当自变量遍历定义域中的所有值时，对应函数值的全体称为函数的值域，通常用集合表示。

为了叙述方便，常把“函数，”简称为“函数”或“函数”。

如果自变量取某一个数值时，函数有确定的值与它对应，那么就称函数在处有定义，称为函数在处的函数值，即。

函数的定义用二元关系描述如下。

定义2-6　如果到的二元关系为，对于每个都有唯一的，使得，则称为到的函数，记作。

当时，称为元函数。

2.函数的表示

函数的表示方法主要有三种：解析法（公式法）、图像法和表格法。

在微积分中讨论的函数几乎都是用解析法表示的。

说明：有时一个函数的解析式需要用几个式子来表示，即在定义域内，当自变量在不同的范围取值时，对应法则用不同的解析式来表示，这样的函数通常叫作分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

例2-2　针对学校的管理而言，可将其划分为管理职能和管理对象，通过构造集合S和T，使得集合S={教学，管理，后勤}，T={教师，学生，工人}，从而构建一个学校管理活动和人员之间的关系。设f为从S到T的关系，且f={<教学，教师>，<教学，学生>，<管理，学生>，<后勤，工人>}，则f称为从S到T的函数关系。

函数可以看作特殊映射构成的集合，因此，两个函数之间的关系也可转换成集合和关系之间的运算，函数的一些概念和运算，也可用集合的概念来描述。

针对例2-2，利用Python程序实现函数的定义[4]，代码如下：

2.1.2　函数的性质

1．函数的有界性

定义2-7　设函数在上有定义。

（1）若存在实数使，，则称函数在集合上有上（下）界，称为函数在上的一个上（下）界。

（2）若存在实数使，，则称函数在集合上有界，称为函数在上的一个界；否则，称函数在上无界。

2．函数的单调性

定义2-8　设函数在有上定义，区间。

（1）若，满足，则称在上是单调递增函数。

（2）若，满足，则称在上是严格单调递增函数；

（3）若，满足，则称在上是单调递减函数。

（4）若，满足，则称在上是严格单调递减函数。

3．函数的奇偶性

定义2-9　设函数，，若函数的定义域关于坐标原点对称，且对于定义域内的任意都满足

则称为偶函数。

如果对于定义域内的任意都满足

则称为奇函数。

4．函数的周期性

定义2-10　对于函数，，如果存在一个不为0的常数，使得，并且对于定义域的任何值，恒满足

则称函数为周期函数，为的周期。

显然，若以为周期，且，，则也是的周期。本书中周期函数的周期指最小正周期。

2.1.3　特殊函数

1．相等函数

定义2-11　设和是定义域到值域的两个函数，称函数和相等，当且仅当和互为子集，记作。

根据相等函数的定义，可得出如下结论：

（1）函数相等首先是两个函数的定义域相等；

（2）对应元素的对应关系相等，即对于所有和，有。

2．满射函数

定义2-12　设有定义域集合和值域集合，假如是从到的一个函数，即，若函数值域中的每个元素通过函数在集合中都与至少一个元素构成对应关系，则称为从到的满射函数，简称满射。

上面的定义若用表达式表示，则为是满射函数，当且仅当对于任意的，必存在使成立。

3．单（入）射函数

定义2-13　设有定义域集合和值域集合，假如是从到的函数，即，若对于定义域集合中的任意两个元素和，当时，都有，则称为从到的单（入）射函数，简称单（入）射。

4．双射函数

定义2-14　设有定义域集合和值域集合，假如是从到的函数，即，若既是满射函数又是单射函数，则称这个函数为双射函数，简称双射。

5．初等函数

常用的基本初等函数有五种，分别是指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数，如表2-1所示。

Python中的math包和SymPy包中常用的数学函数如表2-2所示。

2.1.4　复合函数和逆函数

1.复合函数

定义2-15　设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，如果，那么，内的任意一个经过有唯一确定的值与之对应，变量与通过变量形成了一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为。其中，为自变量，为中间变量，为因变量（函数）。

如、、等都是复合函数，而不是复合函数，因为任何都不能使有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成复合函数。

例2-3　设，，利用Python程序求复合运算的结果。

解：利用Python SymPy包中的函数Symbol定义符号变量，并自定义函数和。具体程序如下：

输出结果如下：

2.逆函数

定义2-16　设函数的定义域是，值域是，如果对于值域中的每个，在中有且只有一个使，那么按此对应法则得到了一个定义在上的函数，把该函数称为函数的反函数，记为。

反函数具有以下性质：

（1）函数与它的反函数的图象关于直线对称；

（2）函数存在反函数的充要条件：函数的定义域与值域之间构成一一映射关系；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）一段连续函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严格递增（减）的函数一定有严格递增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的，且具有唯一性。

2.1.5　综合案例及应用

1.案例目标

针对人工智能中常见的函数，利用Python语言实现函数功能。

2.案例涉及的相关知识

阶跃函数为

多项式函数为

说明：在Python程序的NumPy包中，多项式函数的系数可以用一维数组表示，如可以用数组[1,0,-2,1]表示。

sigmoid函数为

tanh函数为

高斯函数为

3.案例程序实现

例2-4　绘制多项式函数、sigmoid函数、tanh函数和高斯函数[4]。

解：可利用Python中自定义的函数形式定义这4种函数，并用plot函数绘图。具体实现程序如下：

4.运行结果

执行上述程序后，输出结果如图2-1所示。