2.2 混凝土坝基面的宏观抗剪强度研究_高混凝土坝结构安全与优化理论及应用-QQ阅读仙侠女生网

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2.2　混凝土坝基面的宏观抗剪强度研究

由于混凝土、岩体、混凝土/岩体胶结面三者的小尺度材料强度的差别不悬殊，研究宏观混凝土/岩体胶结面的抗剪强度时（赖国伟，2000），必须计及相邻混凝土与岩体的影响。为此，本小节将首先进行宏观混凝土/岩体胶结的屈服临界性分析，然后在此基础上再探讨宏观混凝土/岩体胶结面的抗剪强度。

2.2.1　坝基面宏观屈服的临界条件

在岩基同一地质单元的范围内取出一包含足够多小尺寸胶结面特征单元与小尺度岩体特征单元的混凝土/岩体结构аVm（图2.2-1）。其中аArc定义为宏观混凝土/岩体胶结面特征单元，аVc、аVr分别为邻近аVrc的混凝土与宏观岩体特征单元。

在如图2.2-1所示的均布应力作用下，根据胶结面与岩体的小尺度力学性质的统计均匀性和各态历经性，宏观混凝土/岩体胶结面特征单元аVrc各点的屈服概率与邻近岩体аVr各点的屈服概率分别相同为p1、p2（忽略边缘效应）。即

图2.2-1　大尺度混凝土/岩体结构аVm

其中p1、p2还分别表示аArc、аVr内所屈服的材料（小尺度特征单元）比例。至于胶结面上部的混凝土аVc，由于为人工材料，它的小尺度力学性质远比天然岩基材料均匀，因而аVc内各小尺度特征单元的屈服步调相对一致。为了避免问题过分复杂，可以将аVc作为确定性均匀介质处理，而认为аVc内各小尺度特征单元要么不屈服（相应аVc没有整体屈服），要么全部屈服（аVc发生整体屈服）。这时аVc的屈服与否可用传统的安全系数K来表述。

邻近混凝土аVc、岩体аVr的整体屈服只有在作用荷载增加到一定的程度时才会发生。而在аVc、аVr的整体屈服之前，由于аVc中的小尺度特征单元没有屈服，以及аVr中存在延伸整个аVr的非屈服岩体网络。宏观混凝土/岩体结构аVm要发生整体屈服。其剪切滑动面非得经过搭接混凝土аVc与岩体аVr中非屈服材料网络的那部分小尺度胶结面特征单元不可。亦即这部分小尺度胶结面特征单元是不能沿邻近岩体或混凝土绕过而非得全部屈服的。因此，如果设岩体аVr中非屈服材料网络在贴近胶结面аVrc的平面上所占比例为ur，当K＞1、p2＜pcr［pcr为岩体的临界点屈服概率，见式（2.1-34）、式（2.1-35）］、p1＜ur时，аVm是不可能发生整体屈服的，而当p1＝1或K＜1或p2＞pcr时，аVm显然已整体屈服。这表面随着K从大到小，p1、p2从小到大，宏观混凝土/岩体结构аVm必将发生整体屈服与否的临界现象，亦即存在一个整体屈服与否的临界状态。

通过分析，宏观混凝土/岩体结构аVm存在以下三种临界状态：

（1）随混凝土аVc而发生整体屈服。亦即аVm完全沿аVc整体屈服（图2.2-2）。相应的临界条件为：

图2.2-2　宏观混凝土破坏模式

式中　Kcr——引起аVm整体屈服的混凝土аVc的临界安全系数。

（2）随岩体аVr而发生整体屈服，亦即аVm完全沿аVr整体屈服（图2.2-3）。相应的临界条件为：

式中　p2cr——引起аVm整体屈服的岩体аVr的临界点屈服概率。

图2.2-3　宏观沿岩体破坏模式

图2.2-4　宏观沿胶结面破坏模式

（3）混凝土аVc、岩体аVr不发生整体屈服，аVm部分沿胶结面、部分沿岩体（如不忽略аVc中材料差异，还将部分混凝土）整体屈服（图2.2-4）。在这里宏观混凝土/岩体结构аVm可以不完全沿胶结面аArc发生整体屈服是由于胶结面与岩体的小尺度材料强度相差不像软弱结构面与岩体那样大，当胶结面аArc有一部分材料屈服时，邻近岩体аVr也将有相当数量的材料屈服。随着荷载的不断增加，аArc与аVr中的屈服范围将越来越大。当这两部分屈服材料相互连通形成滑动面时，аVm显然发生整体屈服。因受没有整体屈服的混凝土аVc与岩体аVr的制约，这里аVm宏观地是沿混凝土与岩体的胶结面剪切滑动的。

相应于这种情况下的аVm的临界条件非常复杂。因为它不仅与胶结面、岩体的小尺度力学性质向量随机场有关，还与）之间的相关性质有关。然而，我们知道不论之间存在什么样的相互关系，宏观混凝土/岩体结构аVm总是在下列两式之间发生临界现象的。

式（2.2-5）、式（2.2-6）实际上也分别就是аVm的下限、上限临界条件。于是，为了适合工程应用［避免引入之间的相互关系］，取式（2.2-5）作为аVm部分沿胶结面、部分沿岩体整体屈服的临界条件显然是更安全的。

注意到岩体аVr整体屈服之前，其中未屈服的小尺度岩体特征单元大多相互连通构成аVr的非屈服材料网络（这点从第四节模拟的虚拟平面应变材料的屈服过程即可看出）。因而不妨用同一平面上的所有未屈服岩体比例us来代替式（2.2-5）中的ur。又us＝1-p2［根据的各态历经性］。所以若特别地记аVm处于临界状态时胶结面аArc各点的屈服概率p为p1cr，岩体аVr各点的屈服概率p2为p2cr，则由式（2.2-5）可偏安全地得到混凝土/岩体结构аVm宏观地沿胶结面剪切滑动的临界条件为：

需要指出的是，由于k、p1、p2三者的不同组合将影响宏观混凝土/岩体结构аVm发生哪一种临界现象，因而小尺度材料力学性质一定的宏观混凝土/岩体结构аVm所发生的临界现象（或整体屈服）并不是一成不变的，可以随作用在аVm周围的均布应力（图2.2-1），亦即аVc、аVr、аArc三者的宏观应力状态而发生变化。

2.2.2　混凝土坝基面的宏观抗剪强度

混凝土/岩体胶结面的宏观抗剪强度亦就是混凝土/岩体结构аVm宏观地沿胶结面аArc发生临界现象时所承受的平行于аArc的剪应力（图2.2-1）。根据前一节对аVm的屈服临界性分析可以看出，在一般情况下当аVm宏观地沿混凝土/岩体胶结面整体屈服时，其剪切滑动并不要求完全经过胶结的аArc的每一小尺度特征单元，而可以一部分通过аArc的小尺度特征单元、另一部分通过邻近岩体аVr的小尺度特征单元。因此胶结面宏观抗剪强度不仅仅取决于胶结面аArc，它还与岩体аVr有关。

对于胶结面аVrc，类似于式（2.1-46）、式（2.1-47）的推导，可得其中各点屈服概率为p1时的方程为

式中　f1（τ）——胶结面аArc的小尺度弹性应力场均匀化后，其中小尺度抗剪强度的一维概率密度；

——胶结面аArc的小尺度摩擦系数、粘结力随机场；

σz、τz——小尺度弹性应力场均匀化后的胶结面аArc的小尺度弹性正、剪应力，它们分别是аArc的宏观正、剪应力。

对于岩体аVr，当其中各点的屈服概率为p2时，由式（2.1-48）得

式中　f2（τ）——的一维概率密度；

——岩体аVr的小尺度摩擦系数、粘结力随机场。

各自是岩体аVr的小尺度弹性应力场均匀化后，其中这样一个截面上的小尺度弹性正、剪应力以及小尺度抗剪强度，那就是由аVr中各个截面上的小尺度弹性正、剪应力分别作为σN、τN代入式（2.2-9）中的第一式，求得相应的T2后，再按式（2.2-9）的第二式右端项求f2（τ）dτ＝max的截面，σN、τN还分别为同一截面上的宏观正、剪应力。

若特别地记胶结面的宏观抗剪强度为τcr，则联立方程式（2.2-7）～式（2.2-9），就可建立胶结面宏观抗剪强度的控制方程为

进一步地，同前一节可以假设胶结面аArc与岩体аVr的小尺度强度参数、分别服从正态分布，亦即，，并设ρf1c1、ρf2c2分别为胶结面与岩体的小尺度摩擦系数与粘结力的相关系数。这时式（2.2-10）可改写成：

经过推导，有下列关系式成立

式中：i＝1，2。

将式（2.2-12）～式（2.2-20）代入式（2.2-11），则胶结面宏观抗剪强度τcr的控制方程可进一步化成

式中：Ai＝fi（τ）dτ，i＝1，2。

从式（2.2-21）可以看出，胶结面宏观抗剪强度的控制方程是一个非线性方程组。它的解τcr、T1、T2只能通过数值的方法获得。

由于аVm宏观地沿胶结面发生剪切滑动的临界现象时岩体аVr各点的屈服概率p2cr小于岩体аVr整体屈服的临界概率pcr，因而相应胶结面аArc各点的屈服p1cr则总是大于1-pcr的［根据式（2.2-7）］。由pcr＝0.5［见式（2.1-43）］，p1cr≥0.5。另外，p1cr显然不能超过1。因此，利用p1cr＝0.5与p1cr＝1，并注意到相应的T1值分别等于μ1与＋∞，即可由方程（2.2-21）的第二式特别地求得胶结面宏观抗剪强度τcr的下、上限τcrd、τcrs分别为：

完全同前面对式（2.1-30）、式（2.1-57）的讨论，上两式表明，胶结面宏观抗剪强度的下、上限τcrd、τcrs，在数值上分别与小尺度胶结面抗剪强度的小值平均值、平均值相等。下限τcrd在数值上还与按保证率78.7%所取的小尺度胶结面抗剪强度相等。

2.2.3　坝基面宏观抗剪强度的数值求解方法

1.控制方程的解性质

根据弹性力学，当作用于аVr的均布应力，亦即аVr的宏观应力为

时（图2.2-1），它的宏观主应力σ1，σ2，σ3（以压为正）可按下式求得

这样，如果令

其中H（σij）可称为岩体的宏观屈服函数，σ0＝（σ1＋σ2）/2，R＝（σ1－σ2）/2，α＝arctan，则由式（2.1-64）的推导过程可知，当H（σij）≤0时，аVr的点屈服概率p2将小于或等于0.5，而当H（σij）＞0时，p2将大于0.5。

于是，当由p2＝0.5，亦即τz＝τcrd（式2.2-22）或τxz＝τcrdcosβ、τyz＝τcrdsinβ（β为τz与x轴的夹角，见图2.2-1）时的岩体аVr的宏观应力

代入式（2.2-25），求得主应力σ1，σ2，σ3之后，假如H（σij｜τz＝τcrd）≤0，则p2≤0.5；反之，如H（σij｜τz＝τcrd）＞0，则p2＞0.5。据此，不难看出控制方程（2.2-21）的解具有如下性质：

（1）当H（σij｜τz＝τcrd）≤0时

（2）当H（σij｜τz＝τcrd）＞0时

2.迭代公式

根据式（2.2-21），可以提出求解τcr的迭代公式为：

式中带上标（k）的变量表示该变量的第k次迭代值，k＝0，2，…；其余符号意义同前。

在这里需指出的是，如果我们已偏安全地取岩体的临界点屈服概率pcr为0.5。当H（σij｜τz＝τcrd）＞0时，混凝土/岩体结构аVm将在满足式（2.2-7）之前先满足式（2.2-4），这亦就是说аVm这时不会发生宏出地沿混凝土与岩体胶结面的剪切滑动，因为在它之前аVm完全随岩体аVr的整体屈服可在岩体аVr的强度分析中得到反映。在这同时自然也将给出宏观混凝土/岩体胶结面所承受的应力，因此当H（σij｜τz＝τcrd）＞0时，没有必要用上述迭代公式来求胶结面的宏观抗剪强度，而只要认为混凝土与岩体有胶结面处于整体稳定即可。这样，只需对H（σij｜τz＝τcrd）≤0的情形进行式（2.2-30）的迭代计算，以求得这时所存在的аVm宏观胶结面剪切滑动的抗剪强度τcr。

3.方程fi（τ）dτ＝Ai的求解方法

在正式应用式（2.2-30）迭代求解之前，还必须解决式（2.2-30）迭代时需用到的方程fi（τ）dτ＝Ai的求解问题，其中μ1、fi（τ）、Ai已知（意义同前），Ti为未知量，i＝1或2。

由于ξτ不能确定，试令ξτ＝μi，相应于式（2.2-31）所得的Ti值用来表示，则有

图2.2-5　fi（τ）—τ关系曲线图

因fi（τ）在区间（μi，＋∞）中为单调递减函数（图2.2-5），fi（μi）＞fi（ξτ）。故

类似于式（2.2-32）、式（2.2-33）的推导，可得

一般地，如令＝μi，则有如下递推公式

其中k＝0，1，2，3，…。

由于，故由式（2.2-36）可得

式（2.2-37）、式（2.2-38）表明，…为单调递增数列，亦即为一柯西数列，于是根据柯西定理

将式（2.2-36）代入，得

因fi（τ）＞0，从而由上式可得

亦即数列，…收敛于Ti。这表明我们可以用式（2.2-36）来求Ti值。

当Ai≤0时，经过类似推导可得求Ti的递推公式为

其中＝μi，k＝0，1，2，3，…。

由于式（2.2-36）、式（2.2-39）具有相同的形式，因而对Ti可不加区别地应用式（2.2-36）来解方程fi（τ）dτ＝Ai。相应的计算框图见图（2.2-6），其中关于定积分fi（τ）dτ的计算公式可根据高斯（Gauss）型积分方法为：）

图2.2-6　计算框图

τ0＝μi，τ1＝μi±Δh，τ2＝μi±Δ2h，…，为划分区间的分点（当Ai＞0时，取正号；当Ai＜0时，取负号）。Δh为分区间隔，m（k）取的整数。

4.迭代公式第三式的求解方法

下面讨论在已知的情况下，如何由式（2.2-30）的第三式求得相应的或。

按式（2.2-9）的说明，式（2.2-30）中的第三式实际上代表的是一个极值问题，而不仅仅是一个简单的迭代方程。对它的求解显然只能通过数值求极值的方法才行。

设时岩体аVr的宏观应力：

代入式（2.2-24）求得的主应力，根据材料力学对三维应力莫尔圆的分析，аVr中各个截面的小尺度弹性正、剪应力（指小尺度弹性应力场均匀化的）都在由构成的应力圆内，另外，从图2.2-7容易看出，该应力圆的左半圆上的小尺度弹性正、剪应力组合均比右半圆不利（所以对同一τ值，在半圆上的正应力总比右半圆上的小），因而所在的截面一定是由构成的，并且只在0°＜α＜45°的应力弧上（由对称性，只取上半圆讨论，图2.2-7）。故截面将垂直于σ1σ3平面，并且与主应力σ1的方向的夹角α是在0°，（）45°内（图2.2-8）。