奇怪的平行线

1891年，12岁的爱因斯坦拿到了一本几何书。他如饥似渴地读起来，同年，他进入卢特波尔德高级中学（Luitpold Gymnasium），开始了中学生涯。在他的脑海里，那份惊喜可以与指南针媲美——引领他进入舒适的有序之门，远胜于日常生活中经历的那种杂乱无章。据他后来描述，有一篇文章，甚至算不上是一篇文章，对他来说却似《圣经》般的存在。该文章说，以坚定的、无可争议的命题为基础的证据表明：与马车的咔啦声、香肠售卖车的摇晃声、慕尼黑啤酒节的喧闹声恰恰相反，现实世界存在一个安静的、毫不动摇的真理。

他回忆说：“这种明晰和确定性给我留下了难以言说的印象。”[1]

书中的一些推断对他来说似乎很明显。很早的时候，他就学习了直角三角形的毕达哥拉斯定理：两条直角边的平方之和等于第三条边即斜边的平方。书中说，如果你要改变其中一个锐角（小于90度的角），锐角所对应的边长也必须改变。这些对他来说显而易见，用不着证明。

然而，其他的几何命题却并非是不证自明的。爱因斯坦很喜欢入门书中对定理的数学证明，那些定理乍一看似乎并不明显，但经证明后的确是真理——如三角形的三条高（每个角对应边画出的垂线）必定相交于一点。书中的证据基本上是以不证自明的命题（叫作公理和公设）为基础的，对于这点，他并不介意。他毫不犹疑地接受少数公理，急于“自投罗网”，等待他的，是一大堆已被证明的推测。

书中描述的平面几何可以上溯到2000多年前古希腊数学家欧几里得的成果。欧几里得的《几何原本》将几何知识系统归纳为几十个已经证明的定理和推论，而它们是从六个公理和五个公设中经过系统推理得来的。虽然每个公理和公设都是不证自明的真理，比如部分小于整体；若两个事物均与第三者相等，则三者均等。但是，与角相关的第五公设似乎并不是显而易见就是正确的。

“如果两条……直线与第三条直线相交，这样一来，同一侧两个内角之和小于两个直角之和（180度），那么两条直线会在有限延长后相交。”[2]

换言之，画三条直线，前两条与第三条相交，且形成的两个角都小于90度。如果把两条直线无限延长，则前两条线必定相交，形成一个三角形。举例来说，假设一个角是89度，另一个角也是89度，则必定会有第三个角（角度数为2度），就在前两条线相交的地方——形成一个非常狭长的三角形。

数学家们推测，欧几里得之所以把第五公设放在末尾，是因为他曾试着用其他公理和公设证明第五公设，但都失败了。的确，欧几里得加入第五公设之前，曾用其他公设推理出了完整的28条定理。这就好比，在一个音乐会上，一名专业键盘手敲出了28首乐曲，后来发现有必要借一把原声吉他，才能得到第29首乐曲合适的音符，是一个道理。有时，手边的乐器不够完成一首乐曲，就必须借助另一种乐器进行即兴创作。

后来，欧几里得第五公设成了人们熟知的“平行公设”，这主要是苏格兰数学家约翰·普莱费尔（John Playfair）的功劳。普莱费尔发展出了第五公设的另一个版本，虽然在逻辑上不完全等同于原版，但在证明定理时，起到了相同的作用。普莱费尔的版本说，每一条直线及直线外的一个点，都有一条直线穿过该点与原直线平行。

几个世纪以来，数学家们付出了很多努力利用其他公设证明第五公设——要么是欧几里得的版本，要么是普莱费尔的修订版。就连久负盛名的波斯诗人、哲学家奥马·海亚姆（Omar Khayyam）都曾试过将第五公设证明为定理，但最终无济于事。[2]最终数学界做出结论，第五公设是完全独立的，并放弃了证明它的想法。

童年时期的爱因斯坦在精读这本几何书的时候，对于围绕平行公设的这些争议并不了解。而且，几个世纪以来，人们一直认为欧几里得几何学是神圣不可侵犯的，他也受此影响。那些定理和证据看起来就像巴伐利亚的阿尔卑斯山一样，是固定不变、超越时空而又崇高庄严的。

然而，在哥廷根的神圣大学城内，数学家们正在进行大胆的实验，重新改写几何学。那座圆石砌成的、脑力劳动者的至圣所，已经变成了一块“飞地”[3]，里面的人正在彻底地重新思考数学，将其称作非欧几里得几何学（简称非欧几何）。新奇的几何方法之于传统几何，就像色彩迷幻的彼得·马克斯海报之于伦勃朗，这两种对比有很多相似之处。爱因斯坦彼时学习的是陈旧的、平面上的点、线、图形的规则，而像费利克斯·克莱因（原来在莱比锡城，后被招揽至哥廷根）一样的聪明数学家，则正在改进一个更加灵活的数学“剧本”，包括弯曲表面与扭曲表面的关系。克莱因瓶是克莱因最具头脑风暴性的创造，它类似于一个花瓶，内表面与外表面通过一个更高维度上的扭曲连接在一起。像这类畸形的知识在几何入门读本里是找不到的，欧几里得的铜墙铁律将这些可怕的东西统统拒之门外。但是，克莱因证明了欧几里得几何和非欧几何是同等有效的。至19世纪90年代，他那开创性的想象力打开了一度古板保守的几何俱乐部的大门，向科学怪人和古板之士敞开。

然而，非欧几何不是人人能懂的。与它的前任一样，它自有一套规程。非欧几何的实质是用新奇的判断取代平行公设，而其他公设则保持不变。非欧几何学认为既然平行公设是独立的，那么在一定程度上就是可以变通的，应该向激进的全新方法敞开大门。

数学家卡尔·弗里德里希·高斯是首位建议建立非欧几何的人，但却不是首个就此主题公开发表论述的人。高斯的版本中（之后被打上了克莱因“双曲几何”的标签），取代平行公设的是：通过直线外的任意一点，存在无数条穿过该点的直线与原直线平行。想象一下，在一张细长的桌子上方，紧紧捏住一把纸扇的末端。假设这张细长的桌子代表一条直线，你的手则代表直线外的一点，那么扇骨就相当于一条条穿过点的直线，这些直线与原直线不会相交。呈扇形散开的平行线与双曲线的支线类似，术语“双曲”即由此得来。

高斯提到了双曲面中的三角形的一个古怪的特点：三个内角之和小于180度。对比之下，欧几里得三角形的内角之和是180度，这一点精确无误，比如等腰直角三角形两个锐角度数为45度，最后一个角就一定是90度。艺术家M.C.埃舍尔的想象力非常丰富，他把这个区别融入创作之中，在双曲模型中创作出了奇特扭曲的、小于180度的三角形。

要想象出双曲几何的形状，其中一个方法是抛开平面，想象在一个马鞍形的表面上画出点、线、图形。如你不喜欢骑术，更喜欢美食，那么想象弯曲的炸土豆片也可以。马鞍形的表面很自然地将临近的两条直线弯曲着远离了。虽然它们都“想”成为直线，但多组平行直线则因弯曲着离开彼此，避开彼此也就变得更容易了。这使得穿过某个点会有无数条直线与未穿过该点的直线平行。另外，马鞍形挤压了三角形的内角，造成内角和小于180度。

另一个非欧几何的变异版本中，最初是由高斯的学生波恩哈德·黎曼于1854年提出、1867年发表的，之后被克莱因定名的“椭圆几何”，其中平行公设被一条规则取代，这条规则完全排除了平行的可能性。画一条直线，穿过该直线之外的任意一点，与该直线平行的直线是不存在的。换句话说，穿过该点的所有直线都将在宇宙的某个地方与原直线相交。黎曼证实，球面上的直线具有这样的特点。

你若想不出这样奇怪的平行线，想象一下地球。所有经线都在地球的北极或南极相交。假设有一个旅行者下定决心，从多伦多城区出发，沿着主街一路向北，雇乘狗拉雪橇、破冰船，一直走到北极，而她的姐妹从莫斯科也这样一路向北，虽然二人的路线最初看起来是平行的，但姐妹二人最终免不了要碰面。

奇怪的是，这样一条关于平行的禁忌竟然会通过另一种方式改变三角形的本质。在椭圆几何中，三角形的内角之和大于180度。的确，我们能画出一个三个角均为直角的三角形，三个角的度数加起来有270度。比如，零度经线和90度经线与赤道相交，形成一个三角形，三条线互相垂直。

黎曼研究出了非常复杂精密的数学设备，用以分析曲面，后来被人称为“黎曼流形”。黎曼展示出，用现代被称作“黎曼曲面张量”的概念，如何全方位地将弯曲空间与平直空间的差异确定下来。张量是一个数学实体，在协变转换中以特定的方式改变。他指出空间弯曲主要有三种方式——正曲率、负曲率和零曲率。与之相对的分别是：椭圆几何、双曲几何和欧几里得几何（平面几何）。

对于数学专业以外的人来说，非欧几何看起来非常抽象，是违反直觉的。总之，平行的一般意义是指两条永不相交的直线。假如你停车的时候，试着与一辆车并排停靠，却不小心撞到了那辆车，你一定不会拿非欧几何说事儿，请求警察叔叔的豁免。大部分孩童在学校里学的是平面三角形，内角和为180度。为什么要改变几何的基本规则而让它变得更复杂呢？

随着爱因斯坦的思想日渐成熟，但在这些问题还未足够成熟，使他能够发展出广义相对论之前，他还是要为这些问题而疑惑。那本几何入门在他的早年教育中至关重要，给他深深地打上了欧几里得传统几何的烙印。他有个亲戚，是个学医的学生，叫马克斯·塔尔梅（Max Talmey，原名塔尔迈），经常找他玩儿，爱因斯坦会与他交流自己的想法。小小年纪的爱因斯坦，在数学、自然和其他学科上，见解很深，令塔尔梅很是震惊。

爱因斯坦直到上大学之后才学到非欧几何方面的知识。受童年时期几何书根深蒂固的影响，最初他并不待见非欧几何，认为它对科学并不重要。没过多久，多亏了大学朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）的影响，他才开始意识到非欧几何的重要性。爱因斯坦把非欧几何引入理论物理学，而这即将以非同寻常的方式改变这个领域。[3]当年那个手捧几何书爱不释手的12岁少年，无论如何也想不到，自己有一天会重写物理学的法则，并使那本书的内容变得陈旧。