通往山巅的竞赛

就在爱因斯坦气喘吁吁地赶往梦想之巅时，他依稀感觉到希耳伯特也正努力攀登同一个山峰。1915年6月，爱因斯坦曾对哥廷根的一群热切的观众（其中包括希耳伯特）谈到过广义相对论的进展及其阻碍，其中就有广义协变的问题。希耳伯特对描述一个由时空的物质和能量塑造而成的非欧几里得时空观十分着迷，决定只身一人去探索广义相对论的场方程式。突然之间，爱因斯坦就有了一个激烈的竞争者。一个世界一流的数学家也在觊觎着他寻觅多年的战果，这让他很苦恼。虽然二人势均力敌，但终究还是爱因斯坦拔得头筹。到了那年秋天，爱因斯坦终于推导出了正确的公式。

作为鼓励安慰奖，希耳伯特被认作是广义相对论的另一种方法提出者，即拉格朗日方程。从数学上讲，拉格朗日量表示力学系统中动能（运动的能量）和势能（又称位能，即位置的能量）差异的坐标函数。

想一下弹簧枪，就能想象出势能和动能之间的差别。向后拉弹簧，势能增加，意味着有更大的潜能发射。松开弹簧，动能增加，意味着已经发射了。位置带来的势能转换成运动的动能。从动能（以速度变量表示）中减去势能（以位置变量表示），就得出了拉格朗日量。

19世纪爱尔兰出色的数学家和天文学家威廉·罗文·汉密尔顿表明，假以时日可以通过计算微积分总和的方式整合出拉格朗日量，以此来形成一个作用量。之后，汉密尔顿证明了任何一个力学系统都可以用这样的方式来使得作用量最小化（或者在某些情况下使得作用量最大化）。这个被称为最小作用量原理的想法，自然地就得出了运动方程，即欧拉-拉格朗日方程。因此，简而言之，知道了系统的拉格朗日量，你就可以确定系统如何发展。

在经典力学中也有这样的例子，比如一个几十年前被宇航员丢弃在浩瀚的宇宙中不受任何力的作用缓慢移动的一盒饮料。它的动能是其质量的二分之一乘以速度的平方。它的势能为零，因为在各种力高度一致的太空中没有力作用在上面。因此这样一个物体的拉格朗日量就只是其自身的动能。最小作用量原理表明，该物体的路径就是条简单的直线。将拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，就会得出一个公式，表明其速度恒定。因此，这盒饮料的十分简单的拉格朗日量，决定了它只能沿着直线以恒定的速度移动。

希耳伯特的贡献，即爱因斯坦-希耳伯特拉格朗日量（由此得出爱因斯坦-希耳伯特作用量）也就十分直接了。虽然简单，从数学上讲它却有足够的内涵，可以推导出爱因斯坦的广义相对论的场方程。除此之外，如果你想从物理上以某种合理的方法来改变广义相对论的话，调整一下拉格朗日量就能做到。我们会看到，薛定谔在试图扩展广义相对论，包含其他力的时候，就是这么做的。

汉密尔顿发展了另外一种方法来描述力学系统，叫作汉密尔顿法。该方法不是将势能从动能中减去，而是把两个量相加。这就是汉密尔顿量，这个量可以用一系列方程式来解释某系统的位置和动量是如何联系在一起的。就像拉格朗日法一样，汉密尔顿法也将会在现代物理学中起到至关重要的作用，包括我们后来要提到的在薛定谔的量子力学公式中。同样道理，汉密尔顿量也可以应用到广义相对论中。爱因斯坦最后成型的理论证明了这一点。