48.圆柱体

【题目】现在有一个纯铝制作的圆柱缸和一个内部为软木、外部为铅质的圆柱缸。这两个圆柱缸外形相同，质量相同。现在它们都被纸包了起来。

那么，如何确定两个圆柱缸哪个是哪个？

【题解】这算是一个老问题了。奥扎纳姆《数理娱乐》之中就有这么一道题。不过它的提问方式不太一样：

“现在假设有两个小球，一个是纯金制作的空心球，另一个是银质镀金的实心球。不论大小还是重量，这两个球均相同。那么，如何才能区别出这两个小球？”

这个数学难题的出题人本人虽然认为无法解决，但他又相信确实有解决的办法：“在铜钱上开一刚好能卡紧两个小球的孔，之后根据银比金更易膨胀的特点，用高温加热两球，即可断定，先钻出孔的是银球。”

这个方法理论上没有错误。然而，我们这道题是包着纸的，所以并不太适用。当然，这道题的解法同样利用了这个原理。

问题47的分析提供给我们一些思路，若是利用惯性力矩的不同，便可轻易将两者区分开来：纯铝圆柱的惯性力矩和混合材料圆柱的惯性力矩并不相同，因为混合圆柱大部分质量集中在外边那层铅壳上。根据这个点，让两个圆柱分别从斜坡上滚下，它们的平动速度会呈现出一定的差异。

相对于纵轴，纯铝圆柱的惯性力矩满足以下关系：

此时再计算混合圆柱的惯性力矩K2。这个过程比较复杂，需得确定软木和铅两个部分的具体组成。现在列举一下三种材料的密度：

设整个圆柱体半径r，高h，软木部分半径x。

那么根据“两圆柱质量相等”条件，就有：

简化后得：

这里不用计算x，我们需要用的是x2的值。

此时可得出软木部分的质量。

则铅部分质量为：

由此可得出两部分的质量占比为：软木6%，铅94%。

那么，混合圆柱的惯性力矩K2即为软木惯性力矩和铅壳惯性力矩之和。设圆柱质量为m，则此时软木部分的惯性力矩为：

铅壳的惯性力矩为：

则混合圆柱的惯性力矩K1为：

和问题47中的球体问题一样，我们可以以同样方法得出滚动圆柱的平动运动速度：

计算得出：

此时便可得出此混合圆柱的平动运动速度。根据

可求得。

比较和可以看出混合圆柱的平动速度要比纯铝圆柱小9%，根据这一现象便可确定两个圆柱到底哪个是纯铝哪个是混合。

现在还有一个问题，请读者自行分析：若混合圆柱内部为铅外部为软木，这样哪种圆柱又将会率先滚到坡底？