3.3　自适应波束形成算法

自适应研究的重点一直是自适应算法，经典的自适应波束形成算法大致可分为闭环算法（或者反馈控制方法）和开环算法（也称直接求解方法）。一般而言，闭环算法比开环算法要简单，实现方便，但其收敛速率受到系统稳定性要求的限制。闭环算法包括最小均方（LMS）算法、差分最陡下降（DSD）算法、加速梯度（AG）算法及这3种算法的变形。近二十多年来，人们把兴趣更多地集中在开环算法的研究上。开环算法是一种直接求解方法，不存在收敛问题，可提供更快的暂态响应性能，但同时也受到处理精度和阵列协方差矩阵求逆运算量的控制。事实上，开环算法可以认为是实现自适应处理的最佳途径，目前被广泛使用，但开环算法运算量较大。鉴于此问题，人们想到了采用自适应处理技术，它减轻了自适应算法的实时计算负荷，并且能产生较快的自适应响应。

3.3.1　自适应波束形成的最佳权向量

传统自适应波束形成的结构如图3-2所示，波束形成的权重通过自适应信号处理获得。假定阵元m的输出为连续基带（复包络）信号xm(t)，经过A/D转换后，变成离散基带信号xm(k)，m=0,1,…,M-1，并以阵元0为参考点。另外，假定共有Q个信源存在，wq(k)表示在时刻k对第q个信号解调所加的权向量，其中q=1,…,Q。权向量用某种准则确定，以使解调出来的第q个信号的质量在某种意义下最优。

在最佳波束形成中，权向量通过代价函数的最小化确定。在典型情况下，这种代价函数越小，阵列输出信号的质量也越好，因此当代价函数最小时，自适应阵列输出信号的质量最好。

代价函数有两种最常用的形式，它们分别为在通信系统中广泛使用的著名方法——最小均方误差（MMSE）方法和最小二乘（LS）方法。

1. MMSE方法

MMSE方法是在波形估计、信号检测和系统参数辨识等信号处理中广泛使用的一种优化方法。顾名思义，MMSE方法就是使估计误差y(k)-dq(k)的均方值最小化，即代价函数取

式中，。代价函数为第q个信号的阵列输出与该信号在时刻k的期望形式之间的平方误差的数学期望值。上式可以展开为

由上式可以求得

式中，Rx是数据向量x(k)的自相关矩阵，即

而rxd是数据向量x(k)与期望信号dq(k)的互相关向量，即

令，则得

这就是MMSE方法下的最佳阵列权向量，它是Wiener滤波理论中最佳滤波器的标准形式。

2. LS方法

在MMSE方法中，代价函数定义为阵列输出与第q个用户期望响应之间误差平方的总体平均（均方差），实际数据向量总是有限长的，如果直接定义代价函数为其误差平方，则得到LS方法。

假定有N个快拍的数据向量x(k)，k=1,…,N，定义代价函数：

则求出其梯度为

令梯度等于零，易得

这就是最小二乘意义下针对第q个用户的波束形成器的最佳权向量，式中X和dq分别是数据向量和期望信号向量。其值为

上面介绍的MMSE方法和LS方法的核心问题是，在对第q个用户进行波束形成时，需要在接收端使用该用户的期望响应。为了提供这一期望响应，就必须周期性地发送对发射机和接收机二者皆为已知的训练序列。训练序列占用了通信系统宝贵的频谱资源，这是MMSE方法和LS方法共同的主要缺陷。一种可以代替训练序列的方法是采用决策指向更新对期望响应进行学习。在决策指向更新中，期望信号样本的估计根据阵列输出和信号解调器的输出重构。由于期望信号是在接收端产生的，不需要发射数据的知识，因此不需要训练序列。

3.3.2　权向量更新的自适应算法

上面介绍的自适应阵列的最佳权向量的确定需要求解方程，一般来说，并不希望直接求解方程，其理由如下。

（1）由于移动用户环境是时变的，所以权向量的解必须能及时更新。

（2）由于估计最佳解需要的数据是含噪声的，所以希望使用一种更新技术，它能够利用已求出的权向量求平滑最佳响应的估计，以减小噪声的影响。

因此，希望使用自适应算法周期更新权向量。

自适应算法既可采用迭代模式，也可采用分块模式。所谓迭代模式，就是在每个迭代步骤，n时刻的权向量加上一个校正量后，即组成n+1时刻的权向量，用它逼近最佳权向量。在分块模式中，权向量不是在每个时刻都更新的，而是每隔一定时间周期才更新；由于一定时间周期对应于一个数据块而不是一个数据点，所以这种更新又称为分块更新。

为了使阵列系统能自适应工作，就必须将上节介绍的方法归结为自适应算法。这里以MMSE方法为例，说明如何把它变成一种自适应算法。

考虑随机梯度算法，其更新权向量的一般公式为

式中，，μ称为收敛因子，它控制自适应算法的收敛速度，则

上式中的数学期望用各自的瞬时值代替，即得k时刻的梯度估计值

式中，，代表阵列输出与第q个用户期望响应之间的瞬时误差。容易证明，梯度估计是真实梯度的无偏估计。

将式（3-31）代入式（3-29），即得到熟悉的LMS自适应算法：

MMSE方法可以用LMS算法实现，而LS方法的自适应算法为递推最小二乘（RLS）算法。表3-2为3种自适应波束形成算法的比较，它们是LMS算法，RLS算法和Bussgang算法。从表3-2中可以看出，LMS和RLS算法需要使用训练序列，但Bussgang算法不需要训练序列。除了Bussgang算法，还有一些自适应波束形成算法也不需要训练序列。这些不需要训练序列的方法习惯上统称盲自适应波束形成算法。

注意，在Bussgang算法中，g[y(k)]是一个非线性的估计子，它对解调器输出的信号y(k)作用，并用g[y(k)]代替期望信号d(k)，然后产生误差函数e(k)=d(k)-y(k)。

3.3.3　基于变换域的自适应波束形成算法

LMS的优点是结构简单，算法复杂度低，易于实现，稳定性高；缺点主要是收敛速度较慢，因而其应用也受到一定的限制。分析表明，影响LMS自适应波束形成器收敛速度的主要因素是输入信号的最大、最小特征值之比，该值越小收敛就越快[33]。为了提高收敛速度和计算性能，人们开始研究变换域的自适应滤波方法。文献[34-36]中研究了频域的波束形成技术，文献[37]中研究了基于余弦变换的波束形成技术，文献[39]中改进了频域自适应波束形成算法，文献[40]中提出了小波域自适应波束形成算法。

基于频域的LMS算法结构如图3-3所示，该算法先对输入信号进行FFT变换，再通过LMS算法在频域上进行波束形成。根据前面的分析可以知道：通过对阵列天线接收到的信号x(n)进行FFT，经过FFT后的r(n)，自相关性下降，呈带状分布，这样LMS算法收敛速度就很快。当存在相干信源，假设它们DOA不同，相干信源在时域相干，但在频域是不相干的，所以基于频域的LMS算法对相干信源具有稳健性。

FFT变换后的矩阵Rrr的最大、最小特征值之比小于Rxx的最大、最小特征值之比。所以，自适应波束形成算法的收敛速度得到了提高。基于频域的LMS算法先对输入信号进行频域变换，然后用LMS算法实现在频域的自适应波束形成。与最小均方（LMS）自适应波束形成算法相比，增加了FFT的计算量。但频域变换都有快速算法，计算量不大。设阵列中传感器数量为M，LMS算法每迭代一次的复数加法次数为2M，复数乘法的次数约为2M+1。FFT中复数加法次数为Mlog2M，复数乘法复杂度为M/2×log2M。当M=32时，FFT只相当于数次LMS迭代，而且FFT已经有现成硬件，实现容易。经FFT变换后信号自相关性下降，之后的LMS算法收敛速度大大提高。总体而言，基于频域的LMS算法的计算量比LMS算法的计算量下降了很多。

文献[39]研究的降维的频域自适应波束形成算法结构如图3-4所示，该算法先对接收信号进行FFT，然后进行带通滤波，最后通过LMS算法实现了频域的自适应波束形成。

文献[40]中提出了小波域的自适应波束形成算法。小波域的波束形成算法结构如图3-5所示，先进行多分辨率分解，再使用LMS算法。根据前面的分析，不同的DOA对应于不同的空间分辨率，通过对阵列天线接收到的信号x(n)进行多分辨率分解，经过小波变换后的r(n)是稀疏矩阵，所以LMS算法收敛速度就很快。