5.1 实模态分析

模态分析提供了将多自由度系统的动力学方程转变到模态坐标q_i的方法。在实模态分析中，模态特征值与振型向量均为实数。同时，动力学方程需要满足一定的阻尼条件才能进行实模态解耦。下面通过一些简要公式来阐述这些问题。

5.1.1 基本方程

结构动力学响应在模态空间中的分解，可以将模态坐标q_i合并成列向量q={q₁，q₂，q₃，…}^T，q即模态坐标，也称为广义坐标。将模态振型向量{φ_i｜i=1，2，3，…}合并成矩阵形式，Φ=[φ₁，φ₂，φ₃，…]，模态振型矩阵Φ为所有特征向量φ_i的集合。

那么位移u的时域及频域表达式（4-16）可写成矩阵形式：

将式（5-1）代入频域动力学方程式（4-14），并在方程两侧同时乘以Φ^T，得到

这是模态空间下的频域动力学方程。其中：

1），称为模态/广义质量矩阵。

2），称为模态/广义阻尼矩阵。

3），称为模态/广义刚度矩阵。

4），称为模态/广义激励力 （列）向量。

在模态空间中，各个模态坐标q_i的运动是相互独立的。因此，式 （5-3）中的矩阵_、、必须都是对角矩阵，

式中，{i=1，2，…}为模态阶次，最大的模态阶次与有限元中的自由度总数相等；为模态质量；为模态阻尼；为模态刚度；diag（）表示仅矩阵主对角线元素不为零的对角矩阵。

实模态分析的核心问题是如何获取满足式（5-4）的模态矩阵Φ。如果矩阵M、C、K是任意的，并不一定能找到满足该要求的解。事实上，只有M、C、K为对称矩阵，且阻尼C满足一定条件时，才满足实模态的要求。

5.1.2 模态振型及频率

实模态振型最初是从无阻尼结构中推导出来的。忽略外激励的作用，频域动力学方程简化为

这是一个典型的广义矩阵特征值问题，可求得实特征值λ_i和实特征向量φ_i。特征值λ_i对应于结构的固有频率ω_i，特征向量φ_i对应于结构的模态振型。

由于任意特征向量φ_i在缩放任意倍数后依然满足式（5-6），因此为保证模态振型数值的唯一性需要规范化特征向量。在OptiStruct中默认采用“广义质量归一化”的方式决定模态振型的数值，即

采用质量归一化标准后，模态质量矩阵变为单位矩阵，模态刚度矩阵变为的对角矩阵。

于是，无阻尼结构的动力学方程简化成

图5-1所示为典型模态分析在.fem文件中的工况定义。一般只需要在工况定义中设置模态分析方法卡片METHOD，以及对应的结构边界条件SPC。如果分析的是自由结构的模态，那么SPC字段也是不需要的。

用OptiStruct进行模态分析后，可在输出的.out文件中找到图5-2所示的结果。其中列出了各阶模态对应的固有频率（以Hz为单位）、特征值、广义刚度、广义质量。

5.1.3 比例阻尼

除了无阻尼结构以外，比例阻尼结构也满足实模态解耦。比例阻尼即阻尼矩阵是质量与刚度矩阵的线性组合形式，通常指的是瑞利（Rayleigh）黏性阻尼。在OptiStruct中，比例阻尼是通过参数PARAM,ALPHA1与PARAM,ALPHA2进行定义的。

比例阻尼结构的模态振型矩阵Φ与无阻尼情形的计算结果是完全相同的，这可由比例阻尼的定义得到。此时，模态阻尼矩阵依然为对角矩阵。

因此在模态空间的动力学方程依然是解耦的。时域方程表达为

或

频域方程表达为

或

代入单自由度简谐激励振动的频域解，，=1，，于是各阶模态的阻尼＜para-pc＞比为

各阶模态的振动频率为

这里ω_i＿d的下标d表示damping，意为含阻尼时结构的振动频率。

需要注意的是，如果在OptiStruct中采用比例阻尼进行仿真，那么各阶模态的阻尼比是不相同的。从式（5-14）可知，随着模态频率ω_i的数值变化，阻尼比ζ_i是变化的。在模态频率比较高时，模态阻尼比ζ_i与模态频率ω_i近似为线性增长的关系。

5.1.4 结构阻尼

采用全局结构阻尼的动力学方程也是满足实模态解耦的。所谓结构阻尼，是一种因位移产生的能量耗散，有别于因速度产生能量耗散的黏性阻尼。OptiStruct中定义的全局结构阻尼也是一种比例阻尼：

式中，g是一个自定义常数。

将这种形式的阻尼矩阵代入时域及频域动力学方程，得到

可以看到，时域方程中是一个随激励频率ω变化的矩阵，而在频域方程中，阻尼合并到刚度项，成为一个复刚度矩阵（1+j·g）K，与激励频率ω无关。因此，在OptiStruct中定义结构阻尼有些特殊。在频率响应分析类型中，只需要采用PARAM,G定义参数g即可；而在瞬态响应分析类型中，需要额外采用PARAM,W3定义式（5-17）中的参数ω。

将式（5-17）与式（5-18）在实模态空间Φ中进行表示。此时，时域方程为

频域方程为

可求解式（5-20）中每一阶模态的复数方程，得到对应的特征值：

其中

式中，ω_i＿d为结构阻尼情形下的振动频率，ω_i＿d略大于ω_i；g_s为各模态坐标的阻尼系数，该数值在OptiStruct复模态分析输出的.out文件中表示为“damping”；ζ_i为将结构阻尼等效为黏性阻尼时的阻尼比。在小阻尼情况下，g_s≈g，ζ_i≈g/2。因此，如果采用PARAM，G的全局结构阻尼进行仿真，那么各阶模态阻尼或阻尼比是完全相同的。

图5-3直观地给出了比例阻尼与结构阻尼两种形式的模态阻尼比曲线。可以看到，采用Rayleigh阻尼进行计算时，在极低频和高频段有很大的振动屏蔽效应，而采用结构阻尼进行计算时，各阶模态的阻尼是相等的。

5.1.5 SDAMPING阻尼

除此之外，实模态解耦的情况还存在于SDAMPING阻尼类型，即直接定义各阶模态的阻尼比ζ_i。

在OptiStruct中，通过TABDMP1卡片定义阻尼比随频率变化的曲线ζ（ω），由工况控制卡片SDAMPING进行选取。这样第i阶模态的阻尼比就可以依靠查表的方式被直接定义为：ζ_i=ζ（ω_i），于是式 （4-17）与式 （4-18）中的广义模态阻尼为=2ζ_iω_i。

采用SDAMPING阻尼方式时，模态振型矩阵Φ与无阻尼情形完全一致，而阻尼比曲线ζ（ω）可以根据试验测试进行标定。在OptiStruct仿真应用中，SDAMPING是最灵活的一种阻尼使用方式。相较于比例阻尼或结构阻尼，它可以更准确地表达阻尼效应。在具备试验测试条件的情况下，推荐采用SDAMPING方式定义有限元模型的阻尼。

5.1.6 刚体模态

有限元方法可求得的模态数目与模型自由度数相等，一般按模态频率从低到高进行求解。结构不被SPC约束时，最低阶模态的频率为0，即不发生振动，此时，结构模态振型为整体性平动或转动，称为刚体模态或零频模态。刚体模态的特征是结构不发生弹性形变，无弹性势能产生。除刚体模态以外，其余的模态频率均大于0，此时结构发生弹性形变，有弹性势能产生，称为弹性模态。

依据上面的定义及描述，刚体模态φ₀满足弹性势能为0，即

即无须外力作用，结构就能产生静力位移。刚体模态频率ω₀=0，刚度矩阵K非满秩。

一个结构处于无约束的自由状态时，共有6个独立的刚体模态振型φ₀，分别对应3个平动和3个转动状态。有限元数值计算中，获取的刚体模态通常为平动和转动的线性组合，且由于数值精度问题，获取的刚体模态频率一般不严格为0。如图5-4所示，刚体模态频率通常远低于第一阶弹性模态频率，可认为近似等于0。

在OptiStruct实际应用中，常利用模态分析的刚体模态数目来检查建模错误。建模正确的情况下，对于充分约束的结构，应当确保不存在刚体模态。而对于完全自由的单个结构，应该确保刚体模态仅为6个。例如，如果出现固支位置遗漏SPC、应相连的部件未进行连接、连接单元刚度为0等情况，那么单个结构的刚体模态数目将大于6，应当通过补充必要的连接以及修正SPC等方式修复模型。

5.1.7 模态有效质量

在OptiStruct模态分析中，可以使用PARAM,EFFMAS,YES，输出模态参与因子、模态有效质量以及模态有效质量百分比到.out文件中。模态有效质量信息可以辅助判断某一阶模态是否为局部模态，模态参与因子被用于冲击响应谱分析。

OptiStruct中的模态参与因子（Modal Participation Factor，MPF）描述的是各阶模态Φ与刚体模态φ₀的近似程度。记MPF的符号为p，定义为

由于Φ^TMΦ=I，式（5-25）有等价定义形式

式中，Φ即模态振型矩阵；p是一个列向量；φ₀特指整体结构的单位刚体位移。这里单位刚体位移φ₀的含义是：不论结构是否被约束，均假定在全局坐标系中进行6个自由度的单位刚体位移，即整体结构沿x、y、z轴平动位移1个单位，或绕x、y、z轴转动1个单位弧度。

在这种定义下，结构的刚体质量（Rigid Body Mass）定义为

从中可以知道，φ₀取值为平动单位刚体位移时，RBM为一般意义下的结构总质量；当φ₀为转动单位刚体位移时，RBM为3个绕全局坐标轴的转动惯量。在OptiStruct中，结构的总质量与绕轴转动惯量也可以用PARAM, GRDPNT, 0输出。

在.out文件中输出的第i阶模态有效质量（Modal Effective Mass）的定义为

输出的第i阶模态有效质量百分比（Modal Effective Mass Fraction）的定义为

因此，如果通过模态分析获取了充足的结构模态阶次，那么

在OptiStruct模态分析中使用PARAM,EFFMAS,YES，可在.out文件中看到图5-5所示的结果，在最后一行SUBCASE TOTAL中记录了当前所有模态的有效质量叠加百分比。分析冲击性载荷作用时，该数值可在一定程度上反映当前的模态分析频段是否足够宽泛，能否提取充足的结构模态来逼近动力学的分析结果。