6.1　经典理论

玻色弦的作用量在共形规范中是

这是两维自由场理论。弦的坐标是，在D-维时空中传播。如果我们希望推广玻色弦理论，可以用更一般化的两维场理论取代式（6.1.1）。最简单的可能是，这个更普遍的理论可能又是自由场理论。我们试图一般化式（6.1.1），而不是试图归纳出它可以通过何种固定的保形规范得到再参量化不变的拉格朗日量，这可能是令人惊讶的。事实证明，推广式（6.1.1）要比猜测容易得多。这一推广的关键在于我们能够寻找合适的再参量化不变的拉格朗日量。

因此，我们有了在式（6.1.1）中引入更多自由场的想法。这些自由场将物理地对应内部自由度，而这些自由度对于沿着弦的传播是自由的。各种选择都值得深思，如可以引入自由费米场。大写字母A,B,C表示世界片的旋量指标，如果两个手征都被包括，则两维时空中的旋量指标A有两个取值，如果你要沿着这个方向思考，就必须确定Ψ是狄拉克费米子还是马约拉纳费米子，以及Ψ是否承载了额外的量子数。令人惊奇的是，很少有选择会导致有趣的理论。但是这样做就要引入一个D终端，即马约拉纳费米子，这是一个洛伦兹群SO(D-1,1)中用矢量表示的变换终端。于是，我们考虑拉格朗日量：

式中，ρα表示两维狄拉克矩阵。符号γμ和Γμ分别为4-维和D-维时空伽马矩阵，其基础是

它们遵守反对易关系：

在此基础上可知，Ψ的两个分量为

我们已经选择了ρα为纯虚数，故狄拉克算符iρα是实数，即要求世界片旋量的分量是实数，这在狄拉克代数的表示中是有意义的。这样一个两分量的实旋量正是马约拉纳旋量。符号照例表示。

马约拉纳旋量遵守许多重要的恒等式，这些恒等式与狄拉克旋量不相容。例如，对马约拉纳费米子，就是，不需要取的复共轭或者厄米共轭，因为不管怎样总是实数。因此与是一样的。由于是反对称矩阵，若和都是反对易变量，则最后的表达式关于和对称，在这种情况下有

这种操作是典型的，是在两维时空中处理马约拉纳旋量时出现的。

式（6.1.2）中存在几个问题。首先，引入反对易场似乎有点违背常理，该反对易场变换为SO(D-1,1)的一个矢量-玻色子的表示形式。这一选择意味着在时空意义上映射玻色子到玻色子，映射费米子到玻费米子。虽然这与玻色统计定理并不冲突，但是这是违反直觉的。反过来，式（6.1.2）是两维场理论，不是一个时空场理论，而在两维世界片变换之下变换为一个旋量，与通常的自旋统计关系完全一致。正确地说，在(1+1)-维中不存在自旋，但是存在两维洛伦兹群，或者局域洛伦兹群。它是否有意义，取决于两维场在两维洛伦兹群之下怎样变换。根据自旋统计理论，在两维的局域量子场理论中一个反对易场必须具有半整数洛伦兹量子数。从世界片的观点看，洛伦兹群SO(D-1,1)仅具有内部对称性，自旋和统计学定律关于反对易场是否应转换为矢量或者旋量并没说什么。尽管不矛盾，但洛伦兹量子数对于的分配如此令人惊讶，我们稍后对此进行探讨。

确实存在一个更紧迫的问题：要将式（6.1.2）理解为两维量子场理论。我们回忆，玻色子坐标中等价的τ的对易关系是。洛伦兹度规不是正数，因此式（6.1.1）中振子创建了错误的度量方式，或者“幽灵”。很幸运，式（6.1.1）具有一个无穷维的对称性代数，即维拉宿代数，这种代数可用于消除D=26维中的幽灵。为了使式（6.1.2）有意义，我们不得不面对前面的关于费米子的类似问题。由式（6.1.2）我们能够将费米子简化为等价于τ的对易关系：

这一反对易关系是泊松括号关于格罗兹曼变量的量子版本。常见的问题出现在新的外观中。由于η00=-1，类时费米子创建了错误的度量状态，犹如“类时”玻色子。维拉宿坐标式（6.1.2）可能就像纯粹的玻色子模型一样，足以消除由产生的错误测量模式。但是，为了解决关于的类似问题，我们不得不寻找新的对称和新的约束。这里的约束对费米子的作用就像维拉宿条件对玻色子的作用一样。事实证明，可以采取这一步骤。新的对称是指超对称，或者更准确地说是指超共形对称。

6.1.1　整体世界片超对称

式（6.1.2）的新对称乍一看令人惊奇，但论证起来并不困难。令ε表示独立于σ和τ的常数的反对易无穷小马约拉纳旋量。式（6.1.2）中的作用量S在无穷小变换

下不变。这些变换混合了玻色坐标和费米坐标，称为超对称变换。超对称变换的代数基础是两个超对称变换的对易子给出了一个空间转换。所谓空间转换，是指弦世界片的转换。为了看清楚这一点，考虑：

式中，

在(1+1)-维时空中式（6.1.10）对马约拉纳费米子很重要，。同样地，有

这里要求遵守狄拉克方程，式（6.1.11）可由式（6.1.2）推导出来。

利用式（6.1.2）和关于超对称变换的式（6.1.8），可以推导出超流和能量-动量张量公式。进行这项工作，最有效的方法就是使用4.1.3节中描述的奈特方法。例如，考虑超对称变换式（6.1.8），若ε为一个常数，则式（6.1.8）会离开作用量S不变；若ε不是常数，则式（6.1.8）不会离开作用量不变。但是其变化的形式为

式中，Jα是守恒的奈特流，如同4.1.3节中已经解释的。应用式（6.1.8），这一过程给出超流公式：

为了以后方便，式（6.1.13）已经进行了归一化。应用变换，给出能量-动量张量公式：

从运动方程出发可以核查式（6.1.13）、式（6.1.14）是否守恒。能量-动量张量无迹，恰如纯玻色理论。所以依据光锥分量，，超流的某些分量也消失，因为它遵守类似的约束，即

犹如两维时空中的情况，有恒等式。

6.1.2　超空间

式（6.1.2）是一个在普通两维空间的Σ弦世界片上公式化了的两维场理论。超对称能够在两维超空间中通过公式化的理论体现出来，其中世界片坐标σα可通过增补两个格拉斯曼坐标θA组成一个两分量的马约拉纳旋量。反对易坐标，确实不难使用。一个通常的函数Yμ在超空间中为

该函数在很大程度上取决于超空间中的玻色坐标和费米坐标。这类函数叫作超场。式（6.1.16）是以θ为方幂的完整的幂级数展开式，因为θ的反对易性意指任何多于它们中的两个的积都要消失。超场Yμ结合和形成新场Bμ，其用途并不明显。

现在解释超空间如何生成了超对称。超对称由生成子

表示在超空间中。引入任意反对易参数εA通常是方便的，εA是超对称变换的无穷小参数，其不是与而是与一起工作的。后者生成了超空间坐标的转换，即

以这种方法实现的超对称使得超空间可以像几何变换那样进行变换。超荷Q也能够用于定义坐标变换，根据

由于

显然有

式中，已在式（6.1.10）中给定，没有使用运动方程。以分量形式展开式（6.1.19），并且使用两维菲尔兹关系式，即

给出：

如果令，则式（6.1.23）简化为早先的变换公式，即（6.1.8），对应于最初的Bμ缺失且为零的公式。由于辅助场Bμ的角色，超对称代数的闭集特性没有使用过去的运动方程就已经实现了。

菲尔兹是加拿大数学家，菲尔兹奖相当于数学界的诺贝尔奖，华裔数学家丘成桐、陶哲轩曾获得该奖。式（6.1.22）中的都是格拉斯曼坐标。

现在，令为某个超场。在超对称之下，其变换定律是

这类超场的积以同样的方式变换。例如，

这是因为是超空间中的一阶微分算符，它遵守莱布尼兹规则：

这是一阶微分算符的特性。式（6.1.25）确保乘积像式（6.1.25）中的超场那样变换。超场是超空间的一个函数，这类函数之积当然也是这类函数。

我们利用超空间写出超对称变换，即式（6.1.23）下的拉格朗日不变量。为此，首先需要所有导数算符在超对称变换，即式（6.1.23）下不变，即

这就是已知的超空间协变导数。协变导数D关于Q反对易，即

式（6.1.27）表达了协变导数D的基本性质。协变导数之间遵守下列反对易关系：

如果目标客体Y在超对称之下像一样变换，则式（6.1.27）确保协变导数DAY以同样的规则变换。故超场的协变导数也是超场。

将在超对称空间中保持不变的作用量公式化的一项基本要求是，在超空间中必须有一个积分度量。自然的选择是使积分遍及“全部”超空间，即

式中，d2θ是对费米子的标准贝雷辛积分，其遍及普通函数的反对易坐标，即

在5.1.1节中介绍过路径积分遍及反对易幽灵坐标的情况，我们正在使用的是无穷维贝雷辛积分。该积分挑出系数θ1θ2，由于，所以

与普通的玻色积分一样，对任意的V，贝雷辛积分能够进行分部积分，即

这是因为θ的导数消除了两个θ中的一个，另一个积分因贝雷辛规则消失。

式（6.1.30）的基本性质是在超对称下不变。令Y为任一超场，并令

则S在超对称变换下不变。理由是，在写出

以及Q的显式后，我们发现式（6.1.35）在分部积分中消失了。因为要利用分部积分，我们当然希望式（6.1.33）与普通玻色子的分部积分一样。

现在回到原来的问题，基本超场在SO(D-1,1)的矢量表达中是一个D-连音转换。现在我们知道如何为超场构建无穷对称拉格朗日函数。我们的兴趣是

为了评估θ积分，首先注意：

式（6.1.37）和式（6.1.38）中应用了式（6.1.22）。式（6.1.37）中的D由式（6.1.27）定义，是D的共轭，是由式（6.1.16）定义的超空间中的一般函数。于是，中包含下述关于θ的二次项：

使用式（6.1.32）的积分规则，作用量可展开为分量，给出：

在该作用量中，因为根据场方程有Bμ=0，故简单地设置Bμ为0是合理的，然后可以忽略它。

6.1.3　约束方程

迄今为止，我们讨论的唯一对称性就是整体对称变换，式（6.1.8）给定了恒定的超对称参数ε。世界片坐标的恒定变换在讨论中含蓄地存在。同样，由于两个整体超对称QA的对易子是平移的，因此在讨论中也隐含世界片坐标的恒定平移。量子理论中的变换是世界片坐标σ和τ的变换，但是玻色弦理论中σ和τ的变换是由两个维拉宿生成子L0和生成的。我们必须将QA展开为无穷维-分量“超对称”。

由式（6.1.2）推导出的费米运动方程是简单的两维狄拉克方程：

它必须由边界条件补充。在由式（6.1.3）给出的的基础上，式（6.1.41）分解成关于的一对上、下分量的解耦了的分量方程，即

于是和可分别描述右-动模和左-动模。通过在世界片上引入光锥坐标和，两维狄拉克作用量可以写为解耦形式和。在这些变量中，式（6.1.2）的费米部分变为

式中，已删除了指标μ。式（6.1.43）表明，我们可以令=0，讨论仅具有右-动费米子的两维拉格朗日量。两维手征算符实际上具有的特征态（精确地说，），因此，设定=0意味着只需要一个正手征的旋量场。式（6.1.42）和玻色方程0=可用一种更易懂的方式写出来，即阐明为什么在玻色子和费米子之间存在对称性：

式中，仅是关于的两个函数；仅是关于的两个函数。超对称是之间或之间的对称，它们遵守同样的方程。考虑到正手征模和负手征模的解耦，世界片超对称流和能量-动量张量如果用正手征模和负手征模来写的话，注定要简化。事实上，如果把式（6.1.13）中的超流写成光锥分量的形式，则自然是两分量旋量的两个分量。按照式（6.1.15），仅有正手征旋量分量非零或者仅有负手征旋量分量非零。将非零旋量的两个分量简单地记作是方便的，有

它们明显守恒，即

但是它们生成什么代数呢？利用等价的τ对易子或者反对易子

我们能够容易地计算代数：

更精确地，式（6.1.48）出现在正式操作或者泊松括号中。在量子力学中，存在一个异常项。这里T++和T--是能量-动量张量的光锥分量，有

现在我们用公式来表示约束方程，它能消除与和类似的类时分量。回顾玻色子情况，借助维拉宿约束T++= T--=0，的类时分量消除在26-维时空中。我们把希望寄托在超-维拉宿约束上：

可以肯定，这种猜想和我们关于玻色理论的系统讨论有很大不同。事实上，在玻色子情形中我们推导出的维拉宿条件由拉格朗日规范不变的库仑规范产生。在超对称情形中，我们仅有假设的式（6.1.50）。超-维拉宿约束式（6.1.50）通过两维超引力拉格朗日的库仑规范能够推导出来，但是过程十分复杂。

6.1.4　边界条件和模展开

本节的任务是分析可能的边界条件，并阐述无约束理论。所以所涉及的理论比纯玻色子理论更复杂。

时空坐标满足与玻色弦理论相同的自由波动方程，而边界条件对应于开弦或闭弦，最终的正则模展开也与以前的完全一样。对于费米坐标，表面项在拉格朗日量的变化中产生，并获得欧拉-拉格朗日方程。这些表面项的消失要求在开弦的每一端点消失。通过令每一端点，进而，这一要求可得到满足。不失一般性，我们令

现在，另一端的相对符号变得有意义了，需要考虑两种情况。第一种为

而狄拉克方程的模展开变为

式中，求和遍及所有整数n。第二种为

所以，模展开变为

式中，求和遍及所有半整数模r。对整数模，使用符号m或者n；对半整数模，使用符号r或者s。于是，r-1/2和s-1/2是整数。式（6.1.52）及整数模给出了对弦态时空费米子的描述；式（6.1.55）及半整数模给出了对玻色态的描述。当然，这些玻色态不同于第4章玻色弦理论中的那些玻色态。

当的每个分量在边界条件下分别具有周期性或者反周期性时，闭弦的表面项消失。于是

或者

以及

或者

这4个式子是关于费米子和玻色子闭弦的模展开式，它们是当边界条件为周期性或反周期性时表面项消失的的每个分量表示，对应于左-动模和右-动模的不同配对，存在4种不同的闭弦扇区：NS-NS，NS-R，R-NS，R-R。第一种扇区和第四种扇区描述玻色闭弦态，而另外两种扇区描述费米子的闭弦态。

超-维拉宿算符是由Tαβ和Jα的模给出的。对开弦，有一套独立的Lm定义，即

对费米生成子代数，在R的边界情况下定义

或者在NS的边界情况下定义

在闭弦情况中，存在两套超-维拉宿生成子。其中一套由T++和J+的模给出，而另一套由和的模给出。