1.3.1 液晶的双折射特性
液晶在电场中所表现出来的电致双折射效应比普通的各向同性物质和晶体的类似效应要容易得多和明显得多，这是因为液晶在电场中的光电效应是分子的转向所致，普克尔效应和克尔效应则是组成物质的晶胞的微小形变或分子的电子云形状的改变所致。液晶中传播的光可以分解为相互垂直的两个光矢量，即正常光和异常光。对于正常光，液晶的折射率保持不变；对于异常光，液晶的折射率与指向矢和光线的传播方向之间的夹角有关。外加的电场或磁场可以改变液晶分子的指向矢的方向，也就改变了液晶对异常光的折射率，当然就改变了液晶的双折射率。
1.基本概念
当一束光在各向同性介质——空气与水的界面折射时，折射光线只有一束，而且遵守折射定律。但当光束在空气和双折射晶体的界面折射时，折射光将分成两束，这种现象称为双折射。正常光是指经折射后的两束光总有一束遵守折射定律，即无论入射光束的方位如何，这束光总在入射面内，折射率为正常数，用o（ordinary）表示。异常光是指即使入射角为零，折射角也不为零，而且这束折射光与入射光不在同一平面内，它不遵守折射定律，用e（extraordinary）表示。
一致取向的向列相液晶、近晶相液晶与单轴晶体一样，存在着一个且只有一个特殊的方向，当光在这个介质中沿着这个方向传播时，不发生双折射，这个特殊的方向称为光轴。液晶的光轴一般与液晶分子的长轴方向一致。光轴不是某一条特定的直线，而是一个方向，沿这个方向在单轴晶体和液晶内任意位置传播的光线都不会产生双折射，所以在其中通过每一点都可以做出一条光轴来。只有一条光轴的晶体称为单轴晶体。
在单轴晶体内，由o光线与光轴构成的平面称为o主平面，而由e光线与光轴构成的平面称为e主平面。一般情况下，o主平面和e主平面是不重合的。如果光线在由光轴和晶体表面法线组成的平面内入射，则o光和e光都在这个平面内，这个面就是o光和e光共同的主平面，叫作主截面。如果用检偏器来检验o光和e光的偏振状态，就会发现o光和e光都是线偏振光，o光的光矢量总是与光轴垂直，e光的光矢量与光轴的交角随着传播方向的不同而改变。
液晶的各向异性使得在其中平行于指向矢偏振的光以一个折射率n∥传播，而垂直于指向矢偏振的光则以另一个折射率n⊥传播，这里的n∥相当于ne，而n⊥相当于no。Δn=n∥-n⊥称为光学各向异性或双折射率（birefringence）。Δn是随序参数变化而单调变化的。如图1-14所示，液晶的双折射率Δn随温度的上升而变小。
图1-14 液晶的双折射率随温度变化的示意图
因为液晶具有双折射，所以在液晶中沿着不同方向偏振的光会以不同的速度传播，因此两个垂直分量在液晶中传播时的相位会渐渐偏离开来，这就是相对相位延迟。
设偏振方向与指向矢成45°角的平面波进入厚度为d的液晶样品，其真空波长为λ0。液晶的两个折射率是n∥和n⊥。如图1-15所示，这个线偏振光具有两个同相的分量，一个沿x轴偏振，一个沿y轴偏振。
图1-15 入射光线偏振方向的示意图
与x轴和y轴成45°角偏振的光在进入液晶的起始点（z=0）处的电场分量为
在液晶中，两个分量的角频率ω相同。但各分量的波长λ、角波数k与速度c不同，可得
在液晶中，z=d处的光的两个偏振状态可分别写成
因此，这两个分量以相位差Δnk0d出射。一般来说，出射光将是椭圆偏振光，其长半轴和短半轴各与x轴倾斜45°，两个分量的相对相位延迟为
相位延迟δr随着波长λ的减小而增大，和样品厚度d成正比。所以，测量已知厚度的液晶样品的相位延迟δr就可以测出其双折射率Δn。
液晶样品厚度d是很重要的参量，如果选择液晶样品厚度d使得δr=-π/2，就会得到四分之一波片。对于入射线偏振光，出射光将为左旋圆偏振光。如果选择液晶样品厚度d使得δr=-π，就会得到二分之一波片，出射光的两个分量相位差为180°，它们的合成仍为线偏振光，但偏振方向将垂直于入射光的偏振方向。
透光轴方向正交的两个偏振器（通常分别称为起偏器、检偏器）之间只有各向同性的均匀透明介质时，基本不会有光从正交偏振器透过，因为起偏器的线偏振光在各向同性物质中传播时偏振态不变。当液晶被置于正交偏振器之间时，就可清楚地看出向列相液晶的双折射现象。如果液晶的指向矢平行于两个偏振器透光轴所在的平面，并且与起偏器透光轴的夹角不等于0°或90°，那么对于透过液晶层入射到检偏器的光，电矢量平行于指向矢和垂直于指向矢的两个偏振分量就会产生相位差，一般来说是椭圆偏振光。这一椭圆偏振光将会从检偏器（第二个偏振器）出射。在正交偏振器之间插入向列相液晶，一般会使视场变亮。而在偏振器之间无液晶时，视场是暗的。
液晶插入两个正交偏振器之间后仍然呈暗态的两种特例是：①起偏器的透光轴平行（或垂直）于指向矢，透过液晶的光仍为偏振方向不变的线偏振光，垂直于检偏器的透光轴，输出将消光，但是这时若旋转样品，则视场将变亮；②相延δr=-2Nπ。
显微镜下的液晶照片通常是将样品置于正交偏振器之间而获得的。样品中不同处的指向矢往往方向不同。在指向矢与偏振器透光轴平行或垂直的区域是暗区，而指向矢与偏振器透光轴交角非0°或90°的区域则是亮区。仔细观察在偏光显微镜下所得的图像会发现：有一些呈线状的亮度突变，这表明指向矢在相应位置有突变。这些线称为向错，表明这些地方的指向矢实际上不确定，在一个极小区域里它指向很多不同的方向。因此，这些向错就是缺陷。
2.Maxwell方程组
光线也是一种电磁波，它的传播仍然要遵守Maxwell方程：
式中，E和H分别是电场强度和磁场强度；D和B分别是电位移矢量和磁感应强度；ρ和j分别是电荷密度和电流密度。讨论光在液晶介质中的传播，一般情况下电荷密度和电流密度都等于零。
除上述Maxwell方程外，还存在本构方程：
式中，ε、μ和σ分别是材料的介电常数、磁导率和电导率。对于各向同性介质，它们是标量；对于像液晶一类的各向异性介质，它们是二阶张量。
光学介电常数实际上是折射率的平方，对于向列相液晶，在主轴坐标系中，可以表示为
式中，ε⊥、ε⊥和ε∥是单轴介质的介电张量的3个独立主轴分量；n0、n0和ne是折射率张量的3个独立主轴分量。