1.2 正交曲面坐标系

1.2.1 广义正交曲面坐标系

宏观电磁学的规律不随坐标系的改变而改变，但是在实际问题中，需要将电磁场的数学关系式表达在与给定问题的几何形状相适应的坐标系中。例如，如果要确定空间某点的电场，那么至少得描述某坐标系中源和场点的位置。在三维空间中，一个点的位置可以用三个曲面的交点（u₁，u₂，u₃）确定。假设这三个曲面分别表示为u₁=常数、u₂=常数、u₃=常数，当它们两两相互垂直时，可获得一个正交曲面坐标系，如图1.2-1所示，其中曲面（1）、（2）和（3）相互垂直。

设分别表示三个坐标方向的单位矢量，称为基本矢量。在右手正交曲面坐标系中，这些基本矢量按照满足以下关系的方式安置：

以上三个表达式不是独立的，即一个成立，另两个也成立。当然，也有

任意一个矢量都可以写成它在三个正交方向上的分量之和，即

的模可统一表示为

例1.2-1 已知三个矢量和，求和在正交曲面坐标系（u₁，u₂，u₃）中的表达式。

解：在正交坐标系（u₁，u₂，u₃）中有

因此

在电磁学领域，经常会遇到矢量微积分中需要计算曲线、曲面和体积分的情况。在每种情况下，都需要写出与某坐标的微分增量对应的微分长度增量。然而，某些坐标，如（u₁，u₂，u₃）可能并不是长度，这就需要一个变换因子来将微分增量du_i变换成微分长度增量dl_i，并用下面的关系表示：

式中，h_i称为度量系数，又叫拉梅（Gabriel Lamé，1795—1870，法）系数，其本身可能是u₁、u₂和u₃的函数。

一个沿任意方向的定向微分长度增量可以写成各个分量长度增量的矢量和的形式，即任一有向线元可表示为

的模为

与垂直的面元可以表示为

相似地，与和垂直的面元可以表示为

由三个基本方向的微分增量du₁、du₂和du₃构成的微分体积为

1.2.2 直角坐标系

在直角坐标系中，（u₁，u₂，u₃）=（x，y，z），三个基本矢量为，且满足右手坐标关系：

由于x、y和z本身就是长度，所以三个方向上的拉梅系数均为1，故有

例1.2-2 计算矢量的标量线积分，其中。计算从图1.2-2中的P₁点到P₂点的线积分：①路径1，P₁P₂；②路径2，P₁AP₂。

解：。

①路径P₁P₂。因为P₁P₂的直线方程为，因此

②路径P₁AP₂。从P₁到A：

从A到P₂：

因此

可见，积分结果与积分路径有关，矢量场是非保守的。

1.2.3 圆柱坐标系

在圆柱坐标系中，任意点P的位置用三个变量ρ、φ、z来表示，如图1.2-3所示。三个变量的变化范围为

P点的三个坐标的单位矢量为，分别指向ρ、φ、z增加的方向。、三者总保持正交关系，并遵循右手螺旋法则：

矢量在圆柱坐标系中可用三个分量表示为

注意：与直角坐标不同，除外，都不是常矢量，它们的方向随P点位置的不同而变化。P点的位置矢量或矢径为

在式（1.2-19）中，虽然并不显含φ角，但φ坐标将影响的方向。

若φ、z固定而ρ增大了dρ，则P点的位移为；若ρ、z保持不变而φ增大了dφ，则P点的位移为；若ρ、φ不变而z增大了dz，则。因此，对任意的增量dρ、dφ、dz，P点的位置沿方向的长度增量（长度元）为

故拉梅系数分别为

根据式（1.2-10）～式（1.2-14）并代入拉梅系数，可得与三个单位矢量相垂直的三个面元和体积元分别为

例1.2-3 计算矢量的封闭曲面积分。曲面为由z=±3和ρ=2围成的封闭圆柱表面。

解：积分表面由封闭圆柱的三部分表面构成，分别为顶面（S₁）、底面（S₂）和侧面（S₃）。因此有

（1）顶面：

（2）底面：

（3）侧面：

因此，=12πb+12πb+12πa=12π（a+2b）。

1.2.4 球坐标系

在球坐标系中，P点的三个坐标变量为r、θ、φ。如图1.2-4所示，它们分别称为矢径长度、极角和方位角，其变化范围为

P点的三个单位矢量是。其中，指向矢径延伸方向；垂直于矢径并在矢径与z轴所形成的平面内，指向θ角增大的方向；垂直于上述平面，指向φ角增大的方向。三者呈正交关系，遵循右手螺旋法则：

矢量在球坐标系中可表示为

式中，三者都不是常矢量。P点的位置矢量是，显然，坐标θ和φ都将影响的方向。

根据图1.2-4所示的几何关系，可知P点处沿方向的长度元分别为

dl_r=dr，dl_θ=rdθ，dl_φ=r sinθdφ

故球坐标系的拉梅系数为

球坐标系中的三个面积元和体积元分别为

1.2.5 三种坐标系间的变换

下面介绍直角坐标系、圆柱坐标系与球坐标系之间的变量互换。图1.2-5诠释了三种坐标系变量之间的数值关系。

首先，参照图1.2-5可得直角坐标系与圆柱坐标系的变量关系：

或

对于直角坐标系与圆柱坐标系，它们都有一个z变量，因而有一个共同的单位矢量。因此，二者单位矢量间的关系可以参照图1.2-6得出，结果如表1.2-1所示。这种表的作用与矩阵变换相似，但更为直观。例如，表1.2-1中的第一行和第二行给出

由表1.2-1中的第一列和第二列可得

球坐标系与圆柱坐标系的变量关系为

或

对于球坐标系与圆柱坐标系，它们都有一个φ变量，因而有一个共同的单位矢量。因此，二者单位矢量间的关系可以参照图1.2-7得出，结果如表1.2-2所示。例如，表1.2-2中的第一行和第一列给出

球坐标系与直角坐标系的变量关系为

直角坐标与球坐标单位矢量间的关系可从表1.2-1和表1.2-2所列的关系中求解出来，结果如表1.2-3所示。例如，表1.2-3中的第一行和第一列给出

例1.2-4 假设限制在半径为2cm和5cm两个球面之间的一层电子云的电荷密度为

试求该区域的总电荷量。

解：