如何完整描述一个微观粒子
——从偏微分方程角度回顾薛定谔方程[1]
摘要：在本节中，我们将回顾量子力学的基本定律——薛定谔方程。在量子力学中，完整的波函数不仅刻画了粒子的分布概率，还包含了粒子随时间演化的信息。相对应地，完整的波函数遵循一个关于时间和空间的偏微分方程。顺着这一思路，我们将学习如何利用偏微分方程的相关理论，求出自由粒子薛定谔方程的一般解。
在《张朝阳的物理课》第一卷第五部分中，我们谈及了量子力学的基本概念，了解了波粒二象性是量子力学的“核心特点”，薛定谔方程是量子世界中的“牛顿定律”，并讨论了如何利用量子力学描述原子和分子结构。彼时，为了叙述简单，我们暂且忽略了方程中对时间求导的部分，专注于求解定态薛定谔方程以得到能谱信息。然而，完整的薛定谔方程还包含了物理体系如何随时间演化的信息，是描述真实物理过程中不可或缺的一块拼图。在领略过电动力学和流体力学等“名胜”的无限风光后，我们又回到量子力学的山脚，装备上新习得的偏微分方程（PDE）基本技巧，再次向这座熟悉又陌生的高山进发！
一、从偏微分方程的角度重新看薛定谔方程
回顾《张朝阳的物理课》第二卷中关于电动力学、流体力学和传热学的讨论，我们关注的物理对象都有一个特点：既随着时间流逝演化，也随着空间延展起伏变化，比如电场E（t，x）、流体速度v（t，x）、物体温度T（t，x）等，它们都是至少包含两个自变量的函数，被称为场。而同时描述超过两个自变量的时候，物理方程中的导数要改写成
右边的符号一般被称为偏导数或者偏微分（Partial Derivative），所以相应的方程就被称为偏微分方程。
为了说明单变量和多变量的区别，让我们首先简单回顾一下单质点的牛顿力学。在经典力学中，描述单个质点的运动只需要一个物理变量——时间。尽管在很多问题中我们更关心的是粒子运动的轨迹，比如r（θ），但为了描述粒子的运动状态，轨迹最终会用一组关于时间的参数方程来表达，即r（t）和θ（t）的方程，所以本质上还是一个单自变量问题。利用对单变量求导的符号，牛顿定律写为
而当要刻画分布在不同位置上的大量原子和分子集合，或者更庞大的、宏观上几乎不可划分的连续介质体系时，多变量、场和偏微分方程的思想就有了用武之地——这正是流体力学和传热学的基础。
然而，回到量子力学，在重新出发前，让我们先来思考一个问题：通过第一卷中的讨论，我们知道薛定谔方程描述的只是单个粒子的运动，那么为何要关注偏微分方程呢？答案是：在量子世界中，每个时间点上微观粒子的位置都是不确定的，我们只能用出现在某个空间点上的概率来描述它的状态。就像氢原子外面的电子，只能知道它像云一样分布在原子核的周围，根本不知道它在哪个具体的位置。这就是量子力学的“核心特点”——波粒二象性。所以，在量子力学中，一个粒子的状态只能表达成与时间和空间相关的波函数ψ（t，x），而粒子在某个位置出现的概率密度是波函数的模方
P=|ψ|2=ψ*ψ
相应地，在量子力学中，决定波函数的“牛顿定律”
就是一个偏微分方程，描述的是一个质量为m的粒子的量子行为。如果粒子在不受力地自由运动，则有V（x）=0，那么方程又可被改写为
不难看出，形式上，它非常像第二卷中研究过的热传导方程
但值得注意的是，热传导方程是个实值方程，要求等号右边的传导系数α大于0。而式（1）的等号左边的常数是个复数iħ，右边的系数是个负实数。这一不同恰是使薛定谔方程能描述量子世界的“魔法”。然而，无论实值还是复值，我们所学习积累的处理微分方程的技巧都可以用于处理薛定谔方程，正像用PDE的“猎枪”到量子力学的森林中“打猎”。
二、用偏微分方程的“三板斧”处理薛定谔方程
偏微分方程的“三板斧”的“第一板斧”是用分离变量法化简方程。运用分离变量法的关键在于尝试找到这样一个特解
ψ（t，x）=g（t）h（x）
它是两个单变量函数的乘积。将这个特解代入式（1）中可以得到
其中λ是一个常数。解第一个方程
可以得到
引入复数带来的变化就体现在这里。在求解热传导方程时，对应方程的解是一个衰减的指数函数
T∝e-λ′t
但对于薛定谔方程，它变成了一个随时间振荡的函数。衰减意味着粒子逐渐消失，这显然不符合我们的预期。虚数的引入，使衰减转变为相位上的振荡，则很好地修正了这一点，使得我们相信薛定谔方程至少是自然定律的一个合理的候选者。但是为何恰好是薛定谔方程在主导量子世界呢？这个问题理应由实验来回答，物理规律的数学形式经过了长时间的、反复的实验验证，并且能够进行预言，那么我们就应该相信和理解这个形式。
分离变量后，第二个方程变成
“第二板斧”是用众所周知的各种技巧求解这一常微分方程。不难得知，这个方程有如下形式的解
h（x）∝eikx
指数上的常数k应当满足方程
在量子力学中，由于波粒二象性，动量一般与波数有对应关系
p=ħk
所以常数λ的物理意义就是自由粒子的动能，这与经典牛顿力学的结论是一致的。从另一个角度看，量子力学中的能量算符是
可以看出来，λ即为能量算符的本征值，正如我们所预期的那样。
利用分离变量法，我们得到了方程的一个特解
把对应不同常数k的解组合起来，就能得到方程最一般解的形式
其中，ck是一组组合系数，将会由“第三板斧”——初始条件给出。
偏微分方程的初始条件是指t=0时函数的空间分布
在我们得到的最一般解的形式中取t=0，可以得到
显然它表示函数f（x）的傅里叶分解，ck就是对应的分解系数。注意到hk（x）∝eikx是动量和能量的共同本征函数，物理上可以这样理解式（3）：作为初始条件波函数，它本身的动量或能量的取值都是不确定的，它本身即由多个对应着不同但确定的动量或能量的波函数，以系数做叠加而来，可以称为一个“波包”（Wave packet）。更一般地，我们可以转而记ck=ϕ（k），强调它是动量空间（k空间）中的一个函数。它和坐标空间（x空间）中的函数有一一对应关系，相互之间通过傅里叶变换进行转化。从概率的角度看，f（x）的模方被认为是测量粒子处于某一点上的概率，相对应地，ϕ（k）的模方可以解释为测量粒子在以某一动量运动的概率。作为概率分布，两个函数的展宽或者两个观测量的标准差应当满足不确定性关系
再回到式（2），它意味着系统开始演化后，波包中的各组分将各自独立演化，再按相同的系数重新组合出某一时刻下的波函数。此即量子力学的波函数叠加原理。这一叠加过程也可以在坐标空间中重新表达，首先求初始条件f（x）的傅里叶展开系数，利用
可以求得
将它代入最一般解的形式，即式（2）中，就能得到
与处理热传导方程时一样，第二个积分被简写成一个函数Φ（t，x-y），我们称之为格林函数（Green's function）。在量子力学中，它又被称为传播子（Propagator）。传播子描述了某一小块区域的演化过程。可以想象这样一个过程：如图1所示，初始时刻的波包可以认为是由无穷多个δ函数型波包叠加而成的，其中在点y处的一个δ函数型波包，其振幅是f（y）。到达时间t0后，这个小波包就演化成新的波包Φ（t0，x-y）。如果开始时在空间上每一点处都有一个小波包，它们彼此会独立演化，然后相互叠加形成最后总的波函数。这也是求解偏微分方程一般的、被广泛使用的方法。这样，我们就得到了自由薛定谔方程最一般解的数学表达式。
图1 格林函数描述在一点上小波包的演化结果
小结
Summary
本节从偏微分方程的角度重新介绍了主导微观世界的基本定律——薛定谔方程。不存在势场时，描述自由粒子的薛定谔方程形式上类似于描述热传导的扩散方程，然而薛定谔方程是关于复值函数的方程，方程的解不是衰减的，而是振荡的。正是这一特性使得薛定谔方程成为微观世界基本定律的候选者，至于其正确性，则远非理论能够保证的，而应当由实验反复验证来保证。利用分离变量法，可以将自由粒子薛定谔方程化简为两个单变量方程。分离变量法引入的常数一般可以被解释为粒子的能量，定义上恰好与量子化中的算符化程序引入的能量保持一致。方程的通解一般由不同能量下得到的解（又称为“模式”）加权叠加得到，权重则通过分析初始条件得到。更一般地，这一类线性偏微分方程的通解可被表达为
其中Φ（t，x-y）是格林函数，又被称为传播子，描述了在某点y处的波包经过时间t后的演化结果。
[1]整理自搜狐视频App“张朝阳”账号/作品/物理课栏目中的第129期视频，由陈广尚执笔。