1.5 向量误差修正模型

Engle和Granger将协整与误差修正模型结合起来，建立了向量误差修正模型。向量误差修正（VEC）模型是含有协整约束的VAR模型，多应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模，用来描述经济变量序列之间的长期表现和短期特征。

为了简便说明，不妨忽略外生变量，VAR模型可写为

式中，每个方程的误差项ε_t（t=1，2，…，k）都具有平稳性。

设式（1-32）的y_t所包含的k个序列之间存在协整关系，一个协整体系有多种表示形式，用向量误差修正模型表示是当前处理这种问题的普遍方法，即

式中的每一个方程都是一个误差修正模型；ecm_t-1=β′y_t-1是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系数矩阵α反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度。所有作为解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响，我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。

向量误差修正模型（vector error-correction models）的估计用vec命令。vec拟合一种向量自回归，其中一些变量使用Johansen（1995）的最大似然法进行协整。在协整方程中或在调整项上可以对参数设置约束。

菜单操作：

Statistics＞Multivariate time series＞Vector error-correction model（VECM）

语法格式：

vec depvarlist[if][in][，options]

例1.25 VEC模型构建的Stata示例

本例使用美国经济分析局（BEA）关于八个地区的人均可支配收入年度数据。我们使用1948—2002年的对数数据。对这些序列进行的单位根检验未能拒绝每个地区人均可支配收入包含单位根的原假设。由于资本和劳动力可以轻易在美国不同地区之间流动，因此我们预计没有一个序列会与所有剩余序列产生分歧，并且存在协整关系。

（1）下载数据。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/rdinc

（2）画图。

.line ln_ne ln_se year

图形显示了这两个序列之间的差异，在1960—1980年缩小，然后增长，直到1990年左右稳定下来。接下来，我们估计一个具有一个协整关系的二元VEC模型的参数。

（3）VEC模型估计。

.vec ln_ne ln_se

默认输出有三个部分。模型总体描述提供了有关样本、模型拟合及协整方程中参数识别的信息。第一个估计表包含短期参数的估计，以及它们的标准误差和置信区间。第二个估计表报告了协整方程中参数的估计及其标准误差和置信区间。结果表明，协整方程得到了强有力的支持，如ln_ne-0.943 ln_se-0.896应该是一个固定的序列。协整方程中参数的识别是通过约束其中一些参数为固定参数来实现的，固定参数没有标准误差。在本例中，ln-ne上的系数已标准化为1，因此其标准误差缺失。正如在前面所讨论的那样，协整方程中的常数项在本趋势规范中不是直接估计的，而是从其他估计中撤销的。并不是所有与该参数对应的VEC元素都是可用的，因此cons参数的标准误差缺失。

（4）预测画图。

.predict ce，ce

.line ce year

为了更好地了解模型的拟合情况，我们预测了协整方程，并绘制了随时间变化的图形。

虽然预测的协整方程在20世纪60年代中期之前的时间内具有正确的外观，但在60年代中期之后，预测的协整方程看起来不像是一个平稳序列。更好的模型可以解释差异大小的趋势。