1.8 状态空间模型

许多线性时间序列模型可以写成线性状态空间模型，包括向量自回归滑动平均（VARMA）模型、动态因子（DF）模型和结构时间序列（STS）模型。一些随机动态规划问题的解也可以写成线性状态空间模型的形式。我们可以用最大似然（ML）估计线性状态空间模型的参数。假设误差为正态分布，使用Kalman滤波或扩散Kalman滤波以预测误差形式编写似然函数。当模型平稳时，放弃正态性假设的准最大似然估计量是一致且渐近正态的。Chang、Miller和Park（2009）建立了一类非平稳状态空间模型的QML估计的一致性和渐近正态性。QML估计法与ML估计法的区别仅在于VCE的设定，设定vce（robust）选项就是选用QML估计法。

状态空间模型的表达式包括状态方程和观测方程，状态方程为

观测方程为

其中，z_t为m×1的不可观测状态变量；x_t为k_x×1的外生变量；ε_t为q×1的状态误差项，且q≤m；y_t为n×1可观测内生变量；w_t为k_w×1的外生变量；v_t为r×1的观测误差项。并且，A、B、C、D、F和G都是参数矩阵。假设误差项为零均值、正态分布、序列不相关且彼此不相关：

状态空间模型一般使用卡尔曼滤波进行更新与预测，现在我们给出一个直观的卡尔曼滤波版本。对于每个时间t，卡尔曼滤波器产生条件期望状态向量z_t|t和条件协方差矩阵Ω_t|t；两者都以时间t之前（包括时间t）的信息为条件。使用模型和前期结果，对于每个时间t可以有：

预测误差的残差和均方误差（MSE）矩阵如下所示：

在最后的步骤中，我们用t时间信息更新条件期望状态向量和条件协方差

式（1-46）至式（1-52）是Kalman滤波的预测和更新过程。式（1-46）至式（1-48）为一步预测，一步预测不使用y_t的同期值，只是用过去时期的y_t，过去时期的外生x_t，以及同期的x_t。式（1-49）至式（1-52）组成了Kalman滤波的更新过程，它们将同期因变量信息纳入预测状态。

状态空间模型估计的Stata命令为sspace，sspace通过最大似然估计线性状态空间模型的参数。线性的状态空间模型非常灵活，许多线性时间序列模型可以写成线性状态空间模型。

sspace使用两种形式的卡尔曼滤波器递归地获得条件均值和未观测状态与测量因变量的方差，用于计算可能性。sspace的协方差形式语法和误差形式语法反映了这两种不同的形式。

菜单操作：

Statistics＞Multivariate time series＞State-space models

（1）协方差形式语法。

sspace state_ceq[state_ceq... state_ceq]obs_ceq[obs_ceq... obs_ceq][if][in][，options]

其中，每个状态都是：

（statevar[lagged_statevars][indepvars]，state[noerror noconstant]）

每个obs_ceq的形式为：

（depvar[statevars][indepvars][，noerror noconstant]）

（2）误差形式语法。

sspace state_efeq[state_efeq... state_efeq]obs_efeq[obs_efeq... obs_efeq][if][in][，options]

其中，每个状态都是：

（statevar[lagged_statevars][indepvars][state_errors]，state[noconstant]）

每个obs_ceq的形式为：

（depvar[statevars][indepvars][obs_errors][，noconstant]）

例1.28 一个AR（1）模型

例1.29 一个ARIMA（1，1）模型