1.3 向量自回归模型

VAR模型的英文全称是vector autoregression，即向量自回归模型，我们知道AR是自回归模型，是对单方程的时间序列进行建模的一种方法。而向量自回归则是由单变量自回归模型推广到了多元时间序列变量的“向量”自回归模型。

传统的计量模型都是根据经济理论来建模的，而VAR模型则是根据数据的统计性质来建模的。它是将每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而可以更好地反映变量间的动态联系。VAR模型是处理多个相关经济指标的关于分析与预测的最容易操作的模型之一，它常用于预测相互联系的时间序列系统及分析随机扰动对变量系统的动态冲击，从而解释各种经济冲击对经济变量形成的影响。

VAR模型的结构表达式主要有三种：向量表达式、非限制向量自回归模型（用滞后算子表示）、VMA（∞）模型。

VAR（p）模型的一般表达式为

其中，y_t是k维内生变量列向量，x_t是d维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。k×k维矩阵Φ₁，…，Φ_p和k×d维矩阵H是待估计的系数矩阵。ε_t是k维扰动列向量，一般假设它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设Σ是ε_t的协方差矩阵，是一个（k×k）的正定矩阵，即ε_t～VWN（O_k，Σ），其中VWN（O_k，Σ）表示均值为O_k、协方差矩阵为Σ的白噪声向量，这里O_k表示k维零向量。式（1-19）可以展开表示为矩阵表达式：

即含有k个时间序列变量的VAR（p）模型由k个方程组成。还可以将式（1-20）做简单变换，表示为

其中，是关于外生变量回归的残差。式（1-21）可以简写为

式中，，是滞后算子L的k×k的参数矩阵。一般称式（1-22）为非限制向量自回归模型（unrestricted VAR），即一般的简化VAR模型。冲击向量是白噪声向量，因为没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。

上面介绍的是含有外生变量的非限制性向量自回归模型，那么不含外生变量的非限制性向量自回归模型，即简单向量自回归模型。简化的VAR模型每个公式的左边是内生变量，右边是自身的滞后和其他内生变量的滞后。其表达式为

其中，Φ（L）=I_k-Φ₁L-Φ₂L2-…-Φ_pLp。

当行列式det[Φ（L）]的根都在单位圆外，式（1-19）满足稳定性条件，此时可以将其表示为无穷阶的向量移动平均[Vector Moving Average，简称VMA（∞）]形式：

式中，Θ（L）=Φ（L）-1，Θ（L）=Θ₀+Θ₁L+Θ₂L₂+…，Θ₀=I_k。

向量自回归模型（vector autoregressive model）估计命令为var。var根据每个因变量自身的滞后及其他所有因变量的滞后拟合每个因变量的多元时间序列回归。var也适用于向量的一个变体自回归模型，被称为VARX模型，其中也包括外生变量。

菜单操作为：

Statistics＞Multivariate time series＞Vector autoregression（VAR）

语法为：

var depvarlist[if][in][，options]

其中的options如下：

例1.21 VAR模型

（1）下载数据。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/lütkepohl2

（2）设置时间序列。

.tsset

（3）VAR模型估计。

尽管所有滞后顺序统计信息都有标准公式，但Lütkepohl（2005）给出了三个信息标准的不同版本，将常数项从可能性中剔除。为了获得Lütkepohl（2005）的版本，我们指定了lutstats选项。

例1.22 带约束的VAR模型

在上一个例子中，我们将一个完整的VAR（2）模型转换为一个三方程模型。dln_inv方程中的系数与dln_inc方程中的系数共同不显著；许多个体系数与0没有显著差异。在本例中，我们将系数限制在L2上。dln_inc在dln_inv和L2上的系数的方程中。dln_inc方程中的dln消耗为零。

（1）施加约束。

.constraint 1[dln_inv]L2.dln_inc=0

.constraint 2[dln_inc]L2.dln_consump=0

（2）VAR模型估计。

.var dln_inv dln_inc dln_consump if qtr＜=tq（1978q4），lutstats dfk

＞constraints（1 2）

所有自由参数估计值都没有太大变化。虽然dln_inv方程中的系数现在在10%的置信水平上是显著的，但dln_inc方程中的系数仍然是不显著的。