11.3　名校考研真题详解

解答题

679．证明：若K(x，t)在D＝[a≤x≤b，a≤t≤b]上连续，u₀(x)在[a，b]上连续，且对任意x∈[a，b]，令

则函数列{u_n（x）}在[a，b]上一致收敛．[东北师范大学研]

证明：K（x，t）在闭区域D上连续，从而在D上有界，即使得对

u₀（x）在[a，b]上连续，从而在[a，b]上有界，即使得对

所以

由数学归纳法易知，由及柯西准则知u_n（x）在[a，b]上一致收敛．

683．证明：在任何有穷区间上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛．[华中科技大学研]

证明：（1）对任何有穷区间，使得对一切x∈I有

①在I上一致收敛；

②对单调减且，即是一致有界的．

由阿贝尔判别法知在任何有穷区间I上，级数一致收敛．

（2）对由于收敛，发散，故不绝对收敛．

685．设函数f（x）在区间[a，b]上有连续的导函数及a＜β＜b．对于每一个自然数定义函数

  ①

试证：当n→＋∞时函数序列在区间[a，β]上一致收敛于f＇（x）．[中国科学院研]

证明：f＇（x）在[a，b]上连续，从而在[a，b]上一致连续，即对对时

对，取，则当n＞N时，对一切由①式，

所以函数列f_n（x）在[a，β]上一致收敛于f＇（x）．

687．（1）求证：在[0，1]上处处收敛，但非一致收敛；

（2）f（x）在（－∞，＋∞）内处处有任意阶导数，级数…

按二个方向在（－∞，＋∞）内一致收敛．试求级数的和函数F（x）．[同济大学研]

证明：（1）

对均收敛，所以收敛，

当x＝1时，．亦收敛．

所以在[0，1]上处处收敛．

但

所以

所以在[0，1]上非一致收敛．

（2）f（x）有各阶导数，自然各阶导数都连续，该级数逐项求导之后，级数仍是它自己，因而一致收敛，满足逐项求导三条件，所以

两边同时积分得（其中c₁＝e^c为常数），令x＝0，知

722．写出在x＝0点展开的Taylor级数的前五项系数，并指出该级数的收敛区域．[北京师范大学研]

解：令，因为

则在x＝0点展开的泰勒级数前5项为

另外，由于在（－∞，＋∞）收敛，因此该级数的收敛域为（－∞，＋∞）．

729．利用数项级数计算积分[厦门大学研]

解：注意到

748．判断级数的收敛性并给出证明．[北京大学研]

解：由于故

而

∴由归结原则

因此由正项级数的比较判别法收敛，从而也收敛．

1．求的收敛域．[大连理工大学2006研]

解：因为，当x＝1时，不趋于0，所以当

x＝1时该级数发散．当x＝－1时，

为交错级数，所以收敛．故的收敛域为[－1，1）．

1．求幂级数的收敛域及和函数．[西安电子科技大学研]

解：由于，所以收敛半径为，易知其收敛域为．记，则

所以．

1．求幂级数的收敛域及和函数．[华南理工大学2006研]

解：因为，所以R＝1．当R＝±1时，均收敛，所以[－1，1]为其收敛域，在[－1，1]内可以逐项求导、逐项求积分，因此

令，则

所以

1．求的Mac1aurin级数展开式．[华东师范大学2006研]

解：由于，所以，从而

1．求在x＝0处的幂级数展开式及收敛半径．[中南大学研]

解：由，有

易知其收敛半径．

1．证明：当时，在（－∞，＋∞）上一致收敛．[东北大学研]

证明：易知

令，由于

所以

故

所以在（－∞，＋∞）上一致收敛．

1．设f（x）在区间[a，b]上连续，f（x）＞0．证明：函数列在[a，b]上一致收敛于1．[华东师范大学研]

证明：因为f（x）在区间[a，b]上连续，所以存在，使得

，从而有

因为，所以对任意的，存在N＞0，使得

从而有

即函数列在[a，b]上一致收敛于1．

1．设函数u_n（x）在闭区间[a,b]上连续（n＝1，2，3，…），级数在开区间（a，b）内一致收敛．证明：函数在闭区间[a，b]上一致连续．[北京交通大学2006研、深圳大学2006研]

证明：由于级数在开区间（a，b）内一致收敛，所以对任意的，存在N＞0，使得

由于函数在闭区间[a，b]上连续（n＝1，2，3，…），在上式中分别令有

从而有

即在闭区间[a，b]上一致收敛．故函数在闭区间[a，b]上一致连续．

1．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上有任意阶导数，且导数函数列在（－∞，＋∞）上一致收敛于．证明：[南开大学2006研]

证明：由于在（－∞，＋∞）上一致收敛于φ（x），从而即在（－∞，＋∞）上一致收敛，由一致收敛函数列的可微性质得

于是．又因为φ（0）＝1，所以C＝1，故

1．设，计算积分[江苏大学2006研]

解：由于，又收敛，故由Weierstrass判别法知在

（－∞，＋∞）上一致收敛．从而由一致收敛函数项级数的可积性知