第3章 效用函数
1.王五的效用函数如下:。王五原先消费9单位和10单位。如果他所消费的缩减为4单位,要给他多少单位才能使他与原先一样满意?
解:王五原先的效用为:
当,效用不变的前提下有:,解得:。
所以要给他12单位才能使他与原先一样满意。
2.“三只手”有两只左手,一只右手。
(1)画出“三只手”对左右手套的无差异曲线。
(2)我们称两只左手套、一只右手套为一“副”手套,并用拥有多少副手套来表示“三只手”的效用水平。以表示右(左)手套数,写出“三只手”的效用函数。
(3)如果,多一只左手套会增加多少效用?
(4)如果,多一只左手套会增加多少效用?
答:(1)“三只手”的左右手套为2:1的完全互补品,其无差异曲线如图3-2所示。
图3-2 无差异曲线
(2)手套所带来的效用取决于左手套数目的半数取整与右手套数目中的较小值,即;
(3)如果,,多一只左手套不会增加效用。
(4)若原先是奇数,初始效用为:,增加一只左手套将增加一单位效用,
;若原先是偶数,初始效用为:,增加一只左手套将不增加效用,。
3.还记得大大和小小吃冰棍的故事吗?(见第2章习题)
(1)分别写出大大和小小对大、小冰棍的效用函数(以X、Y分别表示大、小冰棍的数量)。
(2)试给出两个不同的大、小冰棍组合数,使得大大较喜欢其中一个组合,而小小则较喜欢另一个。
解:(1)在大大看来,大冰棍和小冰棍是1:2的完全替代品,而在小小看来大冰棍和小冰棍是1:1的完全替代品。所以,大大的效用函数是,小小的效用函数是。
(2)两个组合(3,1)和(1,4),大大喜欢前者,小小喜欢后者。
4.下列变换哪些是单调递增变换?
(1)。
(2)。
(3)。
(4)。
解:可以分别对四个函数求导有:
,,,
可知(2)、(3)、(4)都是单调递增变换,而(1)不是。
5.某甲的偏好可用来描述,其中、是非负实数。画出他的无差异曲线。他的偏好是凸的吗?
解:(1)某甲的无差异曲线是以原点为心的同心圆(第一象限部分),如图3-3所示。
图3-3
(2)由图形可知,在无差异曲线上任取两点,它们的连线位于无差异曲线下方,因此其偏好不是凸的。
6.某乙的偏好可用来描述,画出他的无差异曲线。他的偏好是凸的吗?如果他的偏好可以用来表示,他的偏好是否为凸的?
解:(1),乙的无差异曲线如图3-4所示,它的偏好是凸的。
图3-4 无差异曲线
(2),乙的无差异曲线如图3-3的虚线折线段所示。它的偏好不是凸的。
7.为一效用函数,、为非负实数,写出其边际替代率。
(1)为另一效用函数,写出的边际替代率。
(2)和是否代表同一偏好?何以见得?
解:,则,,因此其边际替代率为
。
(1)效用函数为时,,所以边际替代率为。
(2)和代表同一偏好,因为它们所导出的两商品的边际替代率完全相同:
8.某甲的效用函数为,、是商品、的消费量。、的价格分别为和。
(1)证明如果某甲两种商品都购买,那么其消费量满足。
(2)如果某甲只购买商品而不购买商品,上述等式还成立吗?若变成不等式,请指出不等式的方向并给予经济学解释。
(3)请证明在(2)的情况下,收入一定不够购买2单位商品。
(4)某甲会不会只购买商品而不购买商品?为什么?
证明:(1),因此,。
甲两种商品都购买,在消费者均衡条件下可得:。
(2)甲只购买,那么。某甲不购买商品,说明1元钱花在上所得边际效用不如把一元钱花在上所得的边际效用多,因此。
(3),将其与预算约束方程:联立,解得:
。因甲只购买,说明,由此可知,收入一定不够购买2单位商品。
(4)如果甲只购买商品,根据效用函数可得,其效用为0。显然未达到效用最大化,只要减少的消费增加的消费就能使效用增加。因此不会只购买商品而不购买商品。
9.某甲消费商品,,,他的效用函数为。给定三种商品的价格分别为、、
,他的收入为,请写出某甲对此三种商品的需求函数。
解:某甲的预算约束方程是,目标函数为。
构造拉格朗日函数:
效用最大化的一阶条件为:
由上述四式解得三种商品是需求函数分别为:
10.张三和李四的效用函数分别为及。商品1的供给是离散的,即。已知,收入,分别写出张三、李四对商品1的保留价格(保留价格是消费者为某商品所愿支付的最高价格)。
解:设对商品1的保留价格为,商品2的保留价格为1,预算约束方程为。对张三来说,两种商品是完全替代品,因此只要,他将不会购买商品1,因此张三的保留价格恒为1。
记李四的保留价格为,李四购买第单位商品1,则他能购买的商品2数目为单位。以下条件一定成立:
保留价格使以上不等式的等号成立,解得:,。
11.某人的效用函数为,商品的价格为1。他用所有的收入购买了6单位而不买。从这些事实我们能不能推断的价格至少是多少?并请用图像描绘这一情况。
解:设商品的价格为,此人的预算约束方程为,最大化效用的拉格朗日函数为:
解得最优选择为:,。
他用所有的收入购买了6单位而不买,因此,所以价格,即的价格至少为10,效用最大化情况如图3-5所示。
图3-5 预算线与无差异曲线
12.景舜的效用函数为,其中是以货币度量的消费水平。学生会组织游乐会,以其收入支援灾区。其中一项是电子游戏:凡投入1元钱,机器以67%的可能性吃掉这1元钱,以33%的可能性吐出2元钱。
(1)机器是否赚钱?
(2)景舜会不会参加这一游戏?他的效用函数是凸的还是凹的?
解:(1)机器的期望收入为:。因此该机器是能够赚钱的。
(2)效用函数是凹的,因此景舜是风险规避的。
设景舜现有元钱,设。参加游戏的期望效用为:;不参加游戏的期望效用为。
因,所以景舜不会参加游戏。
13.娄阿鼠好赌,他的效用函数为。赌场用均匀骰子,若骰子出现3或5,庄家付15贯;不然,庄家分文不付。每赌一场,得先付7贯。
(1)赌场赚钱吗?
(2)娄阿鼠会不会去赌?他的效用函数是凸的还是凹的?
解:(1)赌场的期望收入为:,因此赌场会赚钱。
(2)效用函数是凸的,因此娄阿鼠是喜好风险的。
设娄阿鼠现有贯钱,设,赌的期望效用为:
不赌的期望效用为。
当即时,他会赌;当时,赌与不赌对他来说没有差别;当时,他会选择不赌。
14.“小杭州”在西湖边设一小摊,雨天向游人出售雨伞,晴天则出售阳伞。“小杭州”的效用函数是
,其中,是杭州地区下雨的概率,而、,分别为晴天、雨天的消费水平。如果雨天的收入为,晴天的收入是。那么小杭州在雨天、晴天的最优消费水平各为多少?
解:因为效用函数为,预算约束为:。
构造拉格朗日函数:
效用最大化的一阶条件为:
联立可得雨天晴天的消费水平分别为: