第3章　一维搜索方法

一维搜索方法是指求解一维目标函数f（x）的极小点和极小值的数值迭代方法，可归结为单变量函数的极小化问题。虽然优化设计中的大部分问题是多维问题，一维问题的情况较少，但是一维搜索方法是优化方法中最基本的方法，在数值迭代过程中都要进行一维搜索，另外很多多维优化问题最终可归结为一维优化问题来处理。

如果确定迭代点x（k）及其搜索方向d（k）后，迭代所得的新点x（k+1）将取决于步长α（k），即

x（k+1）=x（k）+α（k）d（k），k=0，1，2，…　　（3-1）

由式（3-1）可知，不同的步长α（k）会得到不同的迭代点x（k+1）和不同的目标函数值f（x（k+1）），如图3-1所示。一维优化问题的目的是在既定的迭代点x（k）和搜索方向d（k）下寻求最优步长α（k），使迭代产生的新点x（k+1）的函数值最小，即

minf[x（k）+α（k）d（k）]

在初始迭代点x（k）和搜索方向d（k）确定之后，就把求解多维优化问题的极小值变成求解一个自变量即最佳步长α的最优值的一维问题了。即求一元函数

f（x（k+1））=f（x（k）+αd（k））=φ（α）　　（3-2）

的极值问题。

一维搜索的优化方法很多，本章主要介绍常用的黄金分割法和二次插值法。

一维搜索法一般分两步：

（1）确定初始搜索区间[a，b]，即最佳步长α所在的区间[a，b]，搜索区间应为单峰区间，并且在区间内目标函数应只有一个极小值；

（2）在搜索区间[a，b]内寻找最佳步长α，使目标函数式（3-2）达到极小值。