3.1 黄金分割法
3.1.1 黄金分割法的基本原理
黄金分割法又称0.618法，它是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数f（x）的极小点。对于单峰函数f（x），在其极值存在的某个区间[a，b]内取若干个点，计算这些点的函数值并进行比较，总可以找到极值存在的更小区间。在这更小区间内增加计算点，又可以将区间逐步缩小。当区间足够小，即满足精度要求时，就可以用该区间内任意一点的函数值来近似表达函数的极值。
设单变量函数f（x）在区间[a，b]上有定义，若存在一点x*∈（a，b），使得f（x）在区间[a，x*]上严格单调减，f（x）在区间[x*，b]上严格单调增，则称f（x）是区间[a，b]上的（下）单峰函数。显然x*是f（x）在区间[a，b]上的唯一的极小值点。
根据（下）单峰函数所具有的性质，对在某区间[a，b]上的（下）单峰函数f（x）可采用黄金分割法进行搜索其在区间[a，b]内的极小值点。该方法只需计算函数值，用途很广。
3.1.2 黄金分割法的计算方法
设区间[a，b]的长度为L，在区间内取点λ1，从而将区间分割为两部分，线段aλ1的长度记作λ，如图3-2（a）所示。并满足：
由上式有λ2+Lλ-L2=0，两边同除L2，
即q2+q-1=0
则有
，取正根有
。q称为区间收缩率，它表示每次缩小所得的新区间长度与缩小前区间长度之比。这种分割称为黄金分割法。
将黄金分割法用于一维搜索时，在区间内取两对称点λ1，λ2，并满足
显然，经一次分割后，所保留的极值存在的区间要么是[a，λ2]，要么是[λ1，b]，如图3-2（b）所示。而经k次分割后，所保留的区间的长度为：λk=qkL=0.618kL。
由于区间收缩率q是一个近似值，每次分割必定带来一定的舍入误差。因此，分割次数太多时，计算会失真。经验表明，黄金分割的次数应限制在k=11内。
图3-2 黄金分割法
3.1.3 黄金分割法的计算框图和Matlab程序
1.黄金分割法的计算框图
图3-3是黄金分割法的计算框图。图中ε1，ε2为给定的任意小的精度，k为区间缩短的次数。
2.Matlab程序
%golden_search
function[xo，fo]=golden_search（f，a，b，r，TolX，TolFun，k）
kk=1；
while kk>0
h=b-a；rh=r*h；c=b-rh；d=a+rh；
图3-3 黄金分割法程序框图
fc=feval（f，c）；fd=feval（f，d）；
if k<=0||abs（h）<TolX&&abs（fc-fd）<TolFun
if fc<=fd
xo=c；fo=fc；
kk=0；
else
xo=d；fo=fd；
kk=0；
end
if k==0；fprintf（'达到计算次数'）；kk=0；end
else
if fc<fd
b=d；k=k-1；
else
a=c；k=k-1；
end
end
end
【例3-1】 计算目标函数
f（x）=2+x2
在区间[-2，2]内的极小点。
解：用户程序如下：
%golden_s_test1.m
function golden_s_test1
clc；
clear all；
gs_fun=inline（'2+x^2'，'x'）；
a=-2；b=2；r=（sqrt（5）-1）/2；TolX=1e-7；TolFun=1e-7；MaxIter=50；
[xo，fo]=fminbnd（gs_fun，a，b）
[xo，fo]=golden_search（gs_fun，a，b，r，TolX，TolFun，MaxIter）
计算结果为：
xo=-5.55e-17；fo=2