2.3.1　整数类型和溢出

无符号二进制编码使用每个位来表示值的一部分。例如，一个4位无符号整数可以表示0～15之间的任意值。一般来说，一个N位无符号整数可以表示0（所有位都是0）～ 2^N–1（所有位都是1）之间的值。图2.2显示了4位无符号整数的一些取值。使用下面的公式，可以将N个二进制位（b^N–1b^N–2…b¹b⁰）转换为一个十进制数字：b^N–1×2^N–1 + b^N–2×2^N–2 + … + b¹×2¹ + b⁰×2⁰。

这种编码非常直观，但只能表示正数。如果我们还想表示负数，就需要一种不同的编码，通常是补码。在补码编码中，我们保留一位作为符号位。正数的表示与前面一样，但负数编码则是从2^N减去它们的绝对值，其中N是位数。

图2.3显示了4位带符号整数的一些取值。

在这种编码中，所有负数的第一位都是1，所有正数和0的第一位都是0。一个4位带符号整数可表示–8～7之间的值。用来表示值的位数越多，能够表示的值的范围越大。

上溢和下溢

如果算术运算的结果不能用给定位数表示，会发生什么？如果我们使用4位无符号编码来计算10 + 10，但4个位能够表示的最大值为15，此时会发生什么？

这种情形叫作算术上溢。还有一种相反的情形，即得到的数字太小，无法用给定位数表示，这种情形叫作算术下溢。不同的语言采用不同的方式来处理这两种情形，如图2.4所示。

处理算术上溢和下溢的3种主要方式是环绕、饱和与报错。

硬件通常采用环绕方式，简单地丢弃不合适的位。对于4位无符号整数1111，如果我们向其加1，结果将变成10000，但是因为只需要使用4个位，所以1被丢弃，得到的结果为0000，即环绕回0。这是处理溢出最高效的方式，但也是最危险的方式，可能导致意外的结果。例如，我有15美元，再加1美元，结果我只有0美元。

饱和是处理溢出的另外一种方式。如果运算结果超出了可以表示的最大值，就停止在最大值。这与物理世界非常对应：如果恒温器最高只能达到某个温度，那么尝试继续升高温度不会有效果。另外，使用饱和时，算术运算不再始终具有结合性。如果最大值是7，那么7 + (2 – 2) = 7 + 0 = 7，但是(7 + 2) – 2 = 7 – 2 = 5。

第三种方式是报错，即在发生上溢时抛出错误。这是最安全的方法，但缺点是需要检查每个算术运算，而且每当执行算术运算时，代码都需要处理异常情况。

检测上溢和下溢

不同的语言可能使用上述不同方式来处理算术上溢和下溢。如果场景中要求采用的处理方式与语言的默认方式不同，则需要检查某个操作可能导致上溢还是下溢，然后单独处理该场景。这需要在允许值的范围内完成处理。

例如，为了确保将值a和b相加后，结果不会上溢或者下溢出[MIN, MAX]范围，我们需要确保不会发生a + b < MIN（两个负数相加时）或者a + b > MAX。

如果b是正数，则不可能出现a + b < MIN，因为我们在让a变得更大，而不是更小。在这种情况中，我们只需要检查上溢。我们可以把a + b > MAX改写为a > MAX – b（在两边均减去b）。因为我们在减去一个正数，所以是在减小值，此时不会发生上溢（MAX – b在[MIN, MAX]范围内）。因此，如果b > 0，并且a > MAX – b，就会发生上溢。

如果b是负数，那么不可能出现a + b > MAX，因为我们在让a变得更小，而不是更大。在这种情况中，我们只需要检查下溢。我们可以把a + b < MIN改写为a < MIN – b（在两边均减去b）。因为我们在减去一个负数，所以是在增大值，此时不会发生下溢（MIN – b在[MIN, MAX]范围内）。因此，如果b < 0，并且a < MIN – b，就会发生下溢，如程序清单2.8所示。

程序清单2.8　检查加法溢出

对于减法，可以使用类似的逻辑。

对于乘法，我们通过在两侧均除以b来检查上溢和下溢。在这里，我们需要考虑两个数字的符号，因为将两个负数相乘会得到一个正数，而将一个正数和一个负数相乘会得到一个负数。

满足以下条件时，将发生上溢：

▪ b > 0，a > 0，并且a > MAX / b。

▪ b < 0，a < 0，并且 < MAX / b。

满足以下条件时，将发生下溢：

▪ b > 0，a < 0，并且a < MIN / b。

▪ b < 0，a > 0，并且a > MIN / b。

对于整数除法，a / b的值始终是–a～a之间的一个整数。只有当[-a, a]不完全在[MIN, MAX]之间时，我们才需要检查上溢和下溢。回到4位带符号整数的例子，MIN为–8，MAX为7，所以只有一种情况会发生上溢：–8 / –1（因为[–8, 8]不完全在[–8, 7]范围内）。事实上，对于带符号整数，唯一会出现上溢的场景是当a为可表示的最小值，b为–1的时候。无符号整数除法不会出现上溢。

表2.1和表2.2总结了在需要特殊处理时，检查上溢和下溢的步骤。